Finito Abelian grupos con el mismo número de elementos para todos los pedidos son isomorfos

Question

Deje $A$ $B$ ser finito abelian grupos.

Supongamos que para cada número natural $m$, el número de elementos de orden $m$ $A$ es igual al número de elementos de orden $m$$B$.

Demostrar que $A$ $B$ son isomorfos.

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Idea

Dado que estos grupos son finitos, creo que usted tiene que utilizar el principal teorema de la descomposición de alguna manera.

Answer 1

He aquí cómo la miraba. Supongamos que se dio la orden de $g$ del grupo que ha canónica de la factorización de la $p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_n} \dots p_n^{\alpha_n}$. Por el teorema fundamental de finito grupo de su grupo es producto directo de la $n$ abelian $p$-grupos, que a su vez son productos directos de la cíclica subgrupos de diferentes órdenes. Queremos determinar para cada uno de los prime que $p$-grupo está siendo utilizado.

Para hacer este look en los elementos cuyo orden sólo ha $p$ como un divisor primo. Esos son los elementos que son de la forma $(1,1,1,g,1,1\dots 1)$ Estos elementos forman un subgrupo isomorfo a la $p$-subgrupo.

Así que nos gustaría para discernir qué subgrupo es por conocer los elementos de la orden de potencia de $p$.

Para demostrar que podemos hacer esto tenemos que demostrar que si

$\mathbb Z_{p^{a_1}}\times\mathbb Z_{p^{a_2}}\dots \mathbb Z_{p^{a_r}}$ $\mathbb Z_{p^{b_1}}\times\mathbb Z_{p^{b_2}}\dots \mathbb Z_{p^{b_s}}$ son grupos de orden $p^n$ con diferentes exponentes tienen diferente número de pedidos.

Para ver esta nota que el orden de un elemento en un producto directo de $g=(g_1,g_2\dots g_n)$ es el mínimo común múltiplo de todos los órdenes, en un $p$-grupo es el más alto orden.

Así que ir el fin de los factores de menor a mayor. y supongamos que se diferencian por primera vez en el factor de $k$, donde el primer grupo tiene un mayor exponente ( $p^x$ ) Luego de que el grupo tiene más elementos de orden $p^x$.

Answer 2

Esto no es cierto en general. Tome $A = \mathbb{Q}, B = \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}.$, Incluso si se supone que los grupos que contiene "algunos" elementos de orden finito, entonces también no es verdad. Tome $A = \mathbb{Q} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, B = \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ donde $m > 1$ es un número entero.

Pero si usted elige $A$ $B$ a es finito, entonces es cierto. Esto se deduce de la estructura teorema de finito abelian grupos. Tenga en cuenta también que no es cierto incluso para los finitely generado abelian grupos que no son finitos. Tome $A = \mathbb{Z}^r, B = \mathbb{Z}^s, r\neq s.$

$\bf{EDIT:}$ Deje $A$ $B$ dos finito abelian grupos. A continuación, $A \cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/d_r\mathbb{Z},$ algunos $d_1, d_2, \cdots ,d_r \in \mathbb{Z}$ son los principales poderes (no necesariamente distintos). Del mismo modo $B \cong \mathbb{Z}/e_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/e_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/e_s\mathbb{Z},$ algunos $e_1, e_2, \cdots , e_s \in \mathbb{Z}$ son los principales poderes (no necesariamente distintos). Los números de $d_i$ $e_j$ se determina únicamente por $A$ $B$ respectivamente. Así que por la condición dada, debemos tener $r = s, d_i = e_i, \forall i.$ Esto demuestra que $A$ $B$ son isomorfos.