¿Por qué la suma de una división aplicarse a elementos individuales no es igual a la división aplicado a la suma de esos elementos?

Question

Cuando $a_2/a_1 = b_2/b_1$, $a_1 \neq b_1$, tenemos

$$\frac{a_{1}}{a_{2}/a_{1}}+\dfrac{b_{1}}{b_{2}/b_{1}}= \frac{a_{1}+b_{1}}{1+\dfrac{(a_{2}+b_{2})-(a_{1}+b_{1})}{a_{1}+b_{1}}}.$$

Entonces, ¿por qué al $a_2/a_1 \neq b_2/b_1 , a_1 \neq b_1$ no tenemos una similar igualdad?

$$\frac{a_{1}}{a_{2}/a_{1}}+\dfrac{b_{1}}{b_{2}/b_{1}}\neq \frac{a_{1}+b_{1}}{1+\dfrac{(a_{2}+b_{2})-(a_{1}+b_{1})}{a_{1}+b_{1}}}?$$

Answer 1

No estoy seguro de donde las figuras están viniendo, pero una interpretación, es la desigualdad ($a,b,c > 0$) $$\frac{a}{a+b} + \frac{a}{a+c} \ge \frac{2a}{a+ (b+c)/2}, \quad (1)$$

lo que sigue a partir de la

$$((a+b)-(a+c))^2 \ge 0$$

y así

$$(a+b)^2+(a+c)^2 \ge 2(a+b)(b+c).$$

Por lo tanto, sobre la adición de $2(a+b)(b+c)$ a ambos lados,

$$((a+b)+(a+c))^2 \ge 4(a+b)(b+c)$$

y dividiendo ambos lados por $((a+b)+(a+c))(a+b)(b+c)$ y multiplicando por $a$ nos dará $(1).$

Answer 2

Porque para $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\neq 0$ tenemos las siguientes desigualdades equivalentes:

$$\frac{a_{1}}{\dfrac{a_{2}}{a_{1}}}+\dfrac{b_{1}}{\dfrac{b_{2}}{b_{1}}}\neq \frac{a_{1}+b_{1}}{1+\dfrac{(a_{2}+b_{2})-(a_{1}+b_{1})}{a_{1}+b_{1}}}\Leftrightarrow \frac{a_{2}}{a_{1}}\neq \frac{b_{2}}{b_{1}}.$$

Esto puede ser muestra de la siguiente manera:

$$\frac{a_{1}}{\dfrac{a_{2}}{a_{1}}}+\dfrac{b_{1}}{\dfrac{b_{2}}{b_{1}}}\neq \frac{a_{1}+b_{1}}{1+\dfrac{(a_{2}+b_{2})-(a_{1}+b_{1})}{a_{1}+b_{1}}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{a_{1}^{2}}{a_{2}}+\frac{b_{1}^{2}}{b_{2}}\neq \frac{% \left( a_{1}+b_{1}\right) ^{2}}{a_{1}+b_{1}+(a_{2}+b_{2})-(a_{1}+b_{1})}$$

$$\Leftrightarrow \frac{a_{1}^{2}}{a_{2}}+\frac{b_{1}^{2}}{b_{2}}\neq \frac{% \left( a_{1}+b_{1}\right) ^{2}}{a_{2}+b_{2}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{a_{1}^{2}b_{2}+a_{2}b_{1}^{2}}{a_{2}b_{2}}\neq \frac{% \left( a_{1}+b_{1}\right) ^{2}}{a_{2}+b_{2}}$$

$$\Leftrightarrow \left( a_{1}^{2}b_{2}+a_{2}b_{1}^{2}\right) \left( a_{2}+b_{2}\right) \neq \left( a_{1}+b_{1}\right) ^{2}a_{2}b_{2}$$

$$\Leftrightarrow a_{1}^{2}b_{2}^{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}-2a_{2}b_{2}a_{1}b_{1}\neq 0$$

$$\Leftrightarrow \left( a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right) ^{2}\neq 0$$

$$\Leftrightarrow a_{1}b_{2}\neq a_{2}b_{1}$$

$$\Leftrightarrow \frac{a_{2}}{a_{1}}\neq \frac{b_{2}}{b_{1}}.$$

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Su caso numérico que parece ser $a_{1}=b_{1}=a_{2}=1,b_{2}=1.1$ que tenemos

$$\frac{1}{1/1}+\frac{1}{1.1/1}\neq \frac{2}{1+\frac{(1+1.1)-\left( 1+1\right) }{2% }}=\frac{2}{1.05}\Leftrightarrow \frac{1}{1}\neq \frac{1.1}{1}.$$

Answer 3

Tu observación es correcta!

Deje $\displaystyle \frac{a_2}{a_1} = x$$\displaystyle \frac{b_2}{b_1} = y$.

A continuación, supongamos que las expresiones que tienen son iguales.

Tenemos

$$\frac{a_1}{x} + \frac{b_1}{y} = \frac{(a_1 + b_1)^2}{xa_1 + yb_1}$$

Esto nos da

$$(ya_1 + xb_1)(xa_1 + yb_1) = xy(a_1 + b_1)^2$$

Lo que nos da, después de algunos álgebra y la cancelación de $\displaystyle a_1 b_1$,

$$x^2 + y^2 = 2xy$$

es decir,

$$(x-y)^2 = 0$$

y así,

$$x = y$$

Así que si las dos expresiones que tienen son iguales, entonces es necesariamente cierto que $\displaystyle \frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1}$.

De hecho, usted siempre tendrá (positivos reales)

$$\frac{a_1}{x} + \frac{b_1}{y} \ge \frac{(a_1 + b_1)^2}{xa_1 + yb_1}$$

la igualdad que ocurren iff $\displaystyle x = y$

Otro (posiblemente más rápido que el anterior) manera de ver esta desigualdad es la aplicación de Cauchy Schwarz a$\displaystyle (\sqrt{\frac{a}{x}}, \sqrt{\frac{b}{y}})$$\displaystyle (\sqrt{ax}, \sqrt{by})$, la igualdad ocurren sólo cuando estos son linealmente dependientes (implicando $x=y$).