Evaluar $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sinh^{-1}(\sin(x))dx$

Question

Le he dado a mi amigo una integral que realmente no sé cómo calcular: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sinh^{-1}(\sin(x))dx$$ Trató de diferenciar bajo la integración integral y compleja, ninguna de las cuales funcionó.

Me encantaría ver una forma de calcular esto. Sé con certeza que es igual a la Constante de Catalán $.915$ .

¡Gracias de antemano!

Edición: Si alguien tiene curiosidad por saber dónde encontré esto, lo encontré en el artículo de la Constante de Catalán en Wolframio Alfa: http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html

Answer 1

Para cualquier $a\in(0,1)$ tenemos $$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(x)\,dx}{\sqrt{1+a^2 \sin^2 x}}=\frac{\arctan a}{a}$$ por lo tanto, aplicando $\int_{0}^{1}(\ldots)\,da$ a ambos lados tenemos $$\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{arcsinh}(\sin x)\,dx=\int_{0}^{1}\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n a^{2n}}{(2n+1)}\,da = \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}=G.$$ Diferenciación bajo el signo integral hace trabajo.

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Una forma alternativa es notar que la serie de Taylor de la función arcosina (hiperbólica) y las integrales $\int_{0}^{\pi/2}(\sin x)^{2n+1}\,dx$ interactúan simplificándose mutuamente: $$\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{arcsinh}(\sin x)\,dx=\sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}(-1)^n}{(2n+1)4^n}\int_{0}^{\pi/2}(\sin x)^{2n+1}\,dx=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}.$$ Esto recuerda a una de las pruebas de Euler sobre el problema de Basilea.