Encuentra una forma cerrada a partir de la serie de potencias dada

Question

Tengo la serie de poder $\sum_{n=0}^{\infty} {z^{2n}\over{n!}}$ ¿Cómo puedo encontrar la forma cerrada de esta serie de potencias?

Soy consciente de que $e^z=\sum_{n=0}^{\infty} {z^{n}\over{n!}}$ así que traté de manipularlo para poder utilizar $e^z$ pero no funcionó.

Soy muy nuevo en esto, así que por favor ayuda

Answer 1

Conoce la serie para $e^w$ . Dejemos que $w=z^2$ .

Answer 2

Ayuda a renombrar las variables para no tener dos copias de $z$ que significan cosas diferentes.

Quieres encontrar la serie

$$ \sum \frac{z^{2n}}{n!} $$

y sabes

$$ e^x = \sum \frac{x^n}{n!} $$

y espera que la primera serie coincida con la patrón de la segunda serie. A veces, se puede hacer coincidir el patrón simplemente poniendo las cosas en igualdad de condiciones: se esperaba

$$ \frac{z^{2n}}{n!} = \frac{x^n}{n!}$$

y vemos que podemos anular fácilmente todas las ocurrencias de $n$ , lo que da como resultado $x = z^2$ .

Answer 3

Como has dicho, $$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$$

Supongamos que cambiamos $z$ a $z^2$ , entonces obtenemos

$$e^{(z^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z^2)^n}{n!}$$

Que por las reglas de los exponentes se simplifica a

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{n!}$$