Soluciones analíticas para un simple truco matemático

Question

Como se ha demostrado aquí

$3816547290$ es el único entero positivo en el que

• cada dígito se utiliza;
• cada dígito se utiliza sólo una vez;
• el primer $n$ cifras son divisibles por $n$$n=1,...,10$.

Hay una más "analítica" de la manera [que es, uno que no implica que adivinar una tratando de] a demostrar que este número es único y a encontrar?

Answer 1

Usted puede reducir las posibilidades con bastante rapidez. Claramente el dígito final tiene que ser $0$, y luego de divisibilidad por $10$ está asegurado ya que es la divisibilidad por $9$.

Usted sólo puede tener divisibilidad por $5$ si $5$ se encuentra en el quinto lugar, y divisibilidad por $2$ sólo funciona si los dígitos incluso los lugares son incluso.

Divisibilidad por $8$ significa los dígitos de la $7, 8$ lugares están restringidos a $32, 72, 16, 96$ porque $0, 5$ está tomada y no hay dos pares consecutivos dígitos.

Divisibilidad por $4$ tiene la tercera y cuarta plazas tomadas por una selección de $12, 32, 72, 92, 16, 36, 76, 96$

Esto significa que $4, 8$ ocupan lugares $2$ $6$ en un cierto orden.

A continuación, la prueba de divisibilidad por $3$ puede reducir las posibilidades aún más, y se aplica, dejando de divisibilidad por $7$ como el árbitro final de las opciones restantes.