Convergencia uniforme de una potencia de la serie cuando se evita un punto de divergencia

Question

Aquí está el ejercicio:

Deje $\delta\in(0,1)$ y deje $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ser real, monótona disminución de la secuencia que converge a $0$. Mostrar que $\sum a_nz^n$ converge uniformemente en $\{|z|\leq1\}\cap\{|z-1|>\delta\}$

Yo, francamente, no tienen ninguna idea de cómo acercarse a este. Cualquier sugerencias y codazos en la dirección correcta son muy apreciados.

Answer 1

Sugerencias:

• Utilice el hecho de que $(a_n)$ es decreciente y converge a cero para mostrar que existe una relación positiva y de summable secuencia $(b_n)_n$ tal que $a_n=\sum\limits_{k=n}^{+\infty}b_k$ por cada $n$.
• El uso de la sumación por partes para escribir $\sum\limits_{n\geqslant N}a_nz^n$ en términos de$(b_n)_{n\geqslant N}$$z$, para cada $N$.
• Mostrar que $\left|\frac{z^i-z^k}{1-z}\right|\leqslant\frac2\delta$ uniformemente en $z$ en el dominio de considerar, para cada $i$$k$.
• Deducir que $\left|\sum\limits_{n\geqslant N}a_nz^n\right|\leqslant\frac2\delta\,\sum\limits_{n\geqslant N}b_n$ por cada $z$ en el dominio de considerar y para cada $N$.
• A la conclusión.