Primero de todo, la parte de la prueba que no entiendo es (corríjanme si estoy equivocado).
- Podemos demostrar fácilmente que, por el teorema del resto Chino existe una $h\mod n$ tal que $h=h(p) \mod p$ por cada prime $p$ dividiendo $n$. (esta es de claro ?)
- $(7)$ Por cada prime $p$ si $h=h(p) \mod p$ $$ p^i| ny-hx \implies p^i|x$$
- $(5)$ Todos los $k$ tal que $|k|<n$ tenemos :
$$ny-kx|_n nx-k $$
Pregunta : ¿Cómo podemos deducir de $1.,2.$ $3.$ que $ny-hx|x(nx-h)$ ?
1. Croquis o sugerencia
Como podemos ver, de $1.$ podemos aplicar el $2.$ por cada prime $p$ que se divide $n$ por lo tanto podemos decir que "la comuna de la parte entre el $n$ $ny-hx$ debe dividir $x$" e de $3$ se puede deducir que "la otra parte de $ny-hx$ debe dividir $nx-h$". Estas dos observaciones tanto implica que $ny-hx$ divide $x(nx-h)$
2. Solución : con el fin De justificar $1$, vamos a $n=q_1^{\alpha_1}\cdots q_k^{\alpha_k}$ la factorización de $n$. deje $a_i=0$ si $ny$ $x$ son divisibles por los mismos poderes de $q_i$ $a_i=1$ lo contrario, esto significa que $a_i=h(q_i)$ por cada $i=1,\dots,k$. el teorema del resto Chino implica que existe una $h<n$ tal forma que:
$$\begin{align}h&\equiv a_1\mod q_1\\ h &\equiv a_2 \mod q_2 \\ h &\equiv \cdots \mod \cdots \\h &\equiv a_k\mod q_k\end{align} $$.
Ahora podemos escribir :
$$ny-hx =q_1^{r_1}\cdots q_k^{r_k} a \quad \gcd(a,n)=1\tag {*}$$
para cada $i=1,cdot,k$ tenemos $h=h(p_i)\mod p_i$, por lo que podemos aplicar el $2$: debido a $q_i^{r_i}$ divide $ny-hx$ por lo tanto $q_i^{r_i}$ divide $x$ esto es cierto para cada $i=1,cdot,k$, entonces :
$$q_1^{r_1}\cdots q_k^{r_k}|x \tag{**}$$
Pero también hemos $h<n$, por lo que podemos aplicar el $3.$ por lo tanto no existe $f,q$ tal que
$$(ny-hx)q=(nx-h)n^f $$
pero $a|ny-hx$ por lo tanto $a|(nx-h)n^f$ y debido a $\gcd(a,n^f)=1$ podemos deducir (utilizando Euclides del lema) que $a|nx-h \tag {***}$
Finalmente, a partir de ($*$),($**$) y ($***$) podemos deducir el resultado.
Observación : En un principio se escribió el problema sin cuantificadores y las condiciones que le da otro sentido a las afirmaciones cada vez que se copia un problema, usted tiene que entender las partes pertinentes de las implicaciones y el resultado se puede, por ejemplo, escribir:
Deje $h,n,x,y$ ser algunos enteros tales que :
$$\begin{align}\exists f,q \quad (ny-hx)q=(nx-h)n^f \\
\forall i>0 \quad p^i| ny-hx \implies p^i|x\end{align}$$
para cada prime $p$ dividiendo $n$ (lo que equivale a $h=h(p)\mod p$ debido a la definición de $h$)
Si usted ha escrito el problema de esta manera, no sería un malentendido.
