Demostrar que este conjunto, que se define de manera similar al conjunto de Cantor, también tiene medida 0

Question

El estándar de la media tercios conjunto de Cantor puede ser considerado como el conjunto de todos los números en el intervalo de $[0, 1]$ cuyo ternario expansiones no contienen 1s, es decir, los números de la forma $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n 3^{-n} \text{ where } (a_n) \in \{0, 2\}^\mathbb{N}$$ Es bien sabido que este conjunto de Cantor tiene medida de Lebesgue $0$.

Estoy tratando de mostrar que una muy similar de aspecto de conjunto, el conjunto de puntos de la forma $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-n} \text{ where } (a_n) \in \{-1, 1\}^\mathbb{N}$$ también tiene medida de Lebesgue $0$. Inicialmente se trató de tomar un bijection entre estos conjuntos y mostrar este bijection es un homeomorphism, pero entonces se dio cuenta de homeomorphisms no necesariamente preservar la medida.

Hay alguna forma de usar las propiedades del conjunto de Cantor para demostrar que este último tiene una medida de $0$?

Answer 1

En primer lugar observamos que el conjunto de $S$ es un subconjunto del intervalo de $[-a, a]$, donde $$a = \sum_{n=1}^\infty e^{-n} = \frac{1}{e - 1} \approx 0.582$$ El conjunto es auto-similar a través de dos transformaciones afines, cada escalado por un factor de $e$, desplazando a la derecha $(+)$ o a la izquierda $(-)$$e^{-1}$. En símbolos, las funciones de $f_\pm(x) = e^{-1}x \pm e^{-1}$ cubrir el conjunto: $$S = f_+(S) \cup f_-(S).$$ Aquí tenéis una imagen de los seis primeros parciales de sumas parciales para guiar a su intuición.

Ahora, la construcción de una disminución de la secuencia de conjuntos que cada uno cubre $S$ y cuyo total medida disminuye a $0$ en el límite. Deje $K_0 = [-a, a]$. Por similitud, los intervalos de $[f_\pm(-a), f_\pm(a)]$ cubre $f_\pm(S)$, a fin de establecer $$K_1 = [f_-(-a), f_-(a)] \copa [f_+(-a), f_+(a)],$$ y continuando con el patrón, $$\begin{align} K_2 = &[f_-f_-(-a), f_-f_-(a)] \cup [f_-f_+(-a), f_-f_+(a)] \\ & \quad\cup [f_+f_-(-a), f_+f_-(a)] \cup [f_+f_+(-a), f_+f_+(a)]. \end{align}$$ El conjunto $K_n$ se compone de $2^n$ intervalos disjuntos, cada uno de longitud $e^{-n}a$, por lo que el total de la medida de $K_n$ es $$2^n \cdot \frac{a}{e^n} = \Bigl( \frac{2}{e} \Bigr)^{\!n} \! \frac{1}{e - 1} \longrightarrow 0 \qquad \text{como } n \to \infty.$$