Cómo demostrar a $\{t\} \notin t$

Question

Cómo demostrar a $\{t\} \notin t$ usando el axioma de fundación (también conocido como axioma de regularidad):

$A = \emptyset \vee \exists x \in A \forall y \in x : y \not\in A$

Answer 1

Si usted está de acuerdo con la Elección, el Axioma de Fundación implica que no puede haber infinitas descendente de la cadena de conjuntos ordenados por $\in$. Usted tendría $t\in\{t\}\in t$, que conducen a tal cadena infinita, y contradiciendo así a la FA.

Pero usted puede hacerlo directamente. Deje $t$ ser un conjunto, y supongamos que $\{t\}\in t$. Vamos $$X = \{t,\{t\}\}.$$

Ahora, por la Fundación existe $x\in X$ tal que $x\cap X=\emptyset$. Así que o $t\cap X=\emptyset$ o $\{t\}\cap X=\emptyset$. Ahora, $t\in \{t\}\cap X$, por lo que éste no puede sostener. Y desde $\{t\}\in t$$\{t\}\in X$,$\{t\}\in t\cap X\neq\emptyset$. Así que, ni tiene, por tanto, $X$ contradice la Fundación.