Relación de esta matriz antisimétrica $r = \left(\begin{smallmatrix}0 &1\\-1&0\end{smallmatrix}\right)$ $i$

Question

Estaba revisando algunas matrices y me encontré esta interesante

Si $r = \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}$ % entonces $rr=-I$, también $$\exp{(\theta r)} = \cos\theta I + \sin\theta r$$ No wonder, the matrix $R(\theta) = e ^ {\theta r}$ is the 2d rotation matrix, just like $e^{i\theta}$ gira un vector en el plano de Argand. Tengo un conocimiento muy superficial del análisis complejo, así que me gustaría saber donde puedo encontrar los detalles, es decir cuál es el tema unificador y en que la literatura puede encontrarse.

Answer 1

joriki la respuesta es muy agradable y el punto como de costumbre, pero permítanme añadir mi granito de arena y agregue la relación a la representación de la matriz de números complejos.

Primer aviso de que la multiplicación por $i$ corresponde a un (a la izquierda) $90^{\circ}$-rotación alrededor del origen en el plano complejo. Ahora podemos considerar $\mathbb{C}$ $2$- dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con base $1,i$, de modo que $z = a + bi = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$. Permítanme indicar el $\mathbb{R}$-lineal mapa de $z \mapsto iz$$\mathbf{J}$. Tenga en cuenta que para $z = a + bi = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ tenemos $iz = ia -b = -b + ia = \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$, por lo que debemos tener $\mathbf{J} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$. Por supuesto, también puede ver esto al recordar que una rotación alrededor del ángulo de $\alpha$ tiene la matriz $\begin{pmatrix}\cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\\sin{\alpha}&\cos{\alpha}\end{pmatrix}$.

Hasta ahí todo bien, pero esto es sólo el comienzo de la historia! Ahora claramente tenemos $\mathbf{J}^2 = - \mathbf{1}$, $\mathbf{J}^3 = -\mathbf{J}$ y $\mathbf{J}^4 = \mathbf{1}$, lo $\mathbf{J}$ satisface propiedades muy similares como los que estamos acostumbrados a de $i$...

Debido a esto, es natural intentar y buscar en las matrices de la forma $a\mathbf{1} + b\mathbf{J} = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ (el antisimétrica real $2\times2$-matrices).

Ya estamos trabajando en un espacio vectorial de las matrices, además se comporta exactamente de la misma manera como de costumbre, así que echemos un vistazo a la multiplicación. Debe convencerse de que la multiplicación de la matriz da $(a\mathbf{1} + b\mathbf{J})(c\mathbf{1}+d\mathbf{J}) = (ac-bd)\mathbf{1} + (ad+bc)\mathbf{J}$ nos da de nuevo la regla de la multiplicación para números complejos a partir de la multiplicación de la matriz. También tenga en cuenta que el complejo conjugación simplemente corresponde a la transposición. También, el factor determinante codifica el cuadrado del valor absoluto, como se puede comprobar fácilmente.

Si la edición no fueron tan dolorosamente lento en el momento, me hubiera gustado más detallada conectando en el complejo de valores y terminando con los cuaterniones y las matrices de Pauli , pero para el momento en que un simple enlace de wikipedia que tendrá que hacer. Véase, en particular, el pasaje de la matriz de representaciones de los cuaterniones.

Answer 2

La conexión es debido a que esta matriz tiene valores propios $\mathrm i$ y $-\mathrm i$. Puesto que los valores propios de la Plaza de una matriz son los cuadrados de sus valores propios, los valores propios de la plaza son ambos $-1$, y así la Plaza debe ser $-I$. Lo mismo vale para cualquier matriz cuadrada de cualquier dimensión que tiene sólo valores propios $\pm\mathrm i$.

Answer 3

Uno de los primeros cursos de álgebra me tomó como un estudiante definidas $i$ como la matriz $\left( \begin{array}{clcr} 0 & 1\\-1 & 0 \end{array} \right)$ y pasó a definir los números complejos en términos de la adecuada $2 \times 2$ real de las matrices. Yo había visto los números complejos antes, por supuesto, con la habitual $i^2 = -1$ definición, pero me pareció que el definición de matriz mucho más satisfactoria - no tenía necesidad de "inventar" un elemento con $i^2 = -1$, se podía ver con sus propios ojos, en un contexto familiar.

En un espíritu similar, usted podría pensar acerca de la identificación de la división de álgebra de cuaterniones con el anillo de $2 \times 2$ matrices complejas de la forma $\left(\begin{array}{clcr} z & w\\ -\overline{w} & \overline{z} \end{array} \right)$. Esto me parece mucho más fácil de recordar que la definición de los cuaterniones como $4 \times 4$ real de las matrices.

Answer 4

pensar en $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}^2$. puede identificar los números complejos con los operadores lineales correspondientes a su multiplicación. Esto es todo bastante determinado por la acción de multiplicar por $i$, tan ¿qué multiplicación $i$ do a base $(1,0),(0,1)$? obtenemos el matirix $$\left ( \begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0\\ \end{matriz} \right)$$ lo que conseguimos una identificación (con un poco de trabajo) $$a + bi\mapsto \left ( \begin{array}{cc} a&-b\\ b&a\\ \end{matriz} \right)$$