La Geometría De Los Triángulos

Question

En la figura, $BC$ es paralelo a $DE$. Si el área del ∆ $PDE$ $3/7$ de la superficie de ∆ $ADE$, entonces ¿cuál es la proporción de $BC$$DE$?

Traté de encontrar las proporciones de altura de ∆ $ABC$, $PDE$ & $BPC$, y tratando de averiguar algunas similitudes, pero no funcionó.

P. s. no es mi tarea.

Proporción es de 5:2. No está seguro de cómo.

Answer 1

Podemos suponer $$A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(0,1), \quad D=(r,0),\quad E=(0,r)$$ para algunos $r\in\>]0,1[\>$. Intersección $EB$ $C D$ da $P=\bigl({r\over1+r},{r\over1+r}\bigr)$. $ED$ y $PA$ se cruzan ortogonalmente en el punto medio $M=\bigl({r\over2},{r\over2}\bigr)$$ED$. La relación de las dos áreas del triángulo en cuestión es por lo tanto, dado por $${|PM|\over |MA|}={\sqrt{2}\bigl({r\over 1+r}-{r\over2}\bigr)\over\sqrt{2}\,{r\over2}}={1-r\over1+r}\ .$$ Desde este ratio tiene que ser ${3\over7}$ se sigue que $r={2\over5}$.

Answer 2

Aquí viene mi intento de un geométricas derivación del tratado de relación.

Deje $M$ ser el punto medio de la $\overline{BC}$. Por la intersección teorema, tenemos $$\frac{|DA|}{|BD|}=\frac{|AE|}{|EC|}\Leftrightarrow \frac{|BD|}{|DA|}\cdot \frac{|AE|}{|EC|}=1\Leftrightarrow \frac{|BD|}{|DA|}\cdot \frac{|AE|}{|EC|}\cdot \frac{|CM|}{|MB|}=1.$$ Y así, por el teorema de Ceva, $AM$, $BE$ y $CD$ se cruzan en un punto que debe ser $P$, lo $M\in AP$. A continuación, defina $Q,R\in DE$, de modo que $AQ\perp DE$$PR\perp DE$. Entonces tenemos $$\frac{|PR|}{|AQ|}=\frac{|PDE|}{|ADE|}=\frac{3}{7}.$$ Furthermore, we have $\bigtriangleup PRG\sim \bigtriangleup GCA$ which implies $$\frac{|PG|}{|AG|}=\frac{|PR|}{|AQ|}=\frac{3}{7},$$ donde $G:=AP\cap DE$. Entonces tenemos $$\frac{|AP|}{|AG|}=\frac{|AG|+|PG|}{|AG|}=\frac{10}{7}\Leftrightarrow \frac{|AG|}{|AP|}=\frac{7}{10}\Leftrightarrow \frac{|PG|}{|AP|}=\frac{3}{10}.$$ With two applications of the intercept theorem and the property $|BM|=|MC|$ we obtain $$\frac{|PM|}{|PG|}=\frac{|MC|}{|DG|}=\frac{|BM|}{|DG|}=\frac{|AM|}{|AG|}\Leftrightarrow \frac{|PM|}{|AM|}=\frac{|PG|}{|AG|}$$ and thus $$\frac{|AP|}{|AM|}=1-\frac{|PM|}{|AM|}=1-\frac{|PG|}{|AG|}=\frac{|AG|-|PG|}{|AG|}\Leftrightarrow \frac{|AG|}{|AM|}=\frac{|AG|-|PG|}{|AP|}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$$ We then use the intercept theorem to deduce $$\frac{|DG|}{|GE|}=\frac{|BM|}{|MC|}=1\Leftrightarrow |DG|=|GE|.$$ Using that same theorem again we conclude $$\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{|DG|}{|BM|}=\frac{|AG|}{|AM|}=\frac{2}{5}.$$ And thus, we have $|AC|:|DE|=5:2$, como se desee.

Al menos en el caso de $|ADE|>|PDE|$ esta prueba puede ser fácilmente generalizado Azul de la declaración de la $$|PDE|:|ADE|=p:q\Rightarrow |BC|:|DE|=(p+q):|p-q|.$$

Answer 3

Deje $h$ ser la altura de los triángulos $DBC$ $EBC$ respecto a la base $BC$, e $h'$ ser la altitud de $ADE$ respecto a la base $DE$. A partir de la semejanza de triángulos $ADE$ $ABC$ obtenemos: $$ h':DE=(h+h'):BC, \quad\hbox{que}\quad h'={DE\sobre BC-DE}h. $$ Deje $h''$ ser la altura del triángulo $DPE$ respecto a la base $DE$, e $h-h''$ ser la altitud de $BPC$ respecto a la base $BC$. A partir de la semejanza de triángulos $DPE$ $BPC$ obtenemos: $$ h":DE=(h-h"):BC, \quad\hbox{que}\quad h"={DE\sobre BC+DE}h. $$ Pero sabemos que $h''/h'=3/7$, que es $$ {BC-DE\sobre BC+DE}={3\over7}, \quad\hbox{donde}\quad {BC\más DE}={5\over2}. $$

Answer 4

Vamos a cumplir CD en P. tambien deje DE ser 1 unidad y BC = k unidades, para algunos k.

De acuerdo a lo dado, también podemos dejar que [ADE] = 7h y [DEP] = 3h para algunos no-cero constante h.

Hecho-1) si dos triángulos tienen la misma altitud, la razón de sus áreas es proporcional a la relación de sus bases.

Entonces, [PID] = [PCE] y $\dfrac {[DBP]}{[DPE]} = \dfrac {k}{1}$.

Hecho-2) Si dos objetos son similares, la razón de sus áreas es igual al cuadrado de las relaciones entre sus lados correspondientes.

Tomando nota de que $\triangle ADE \sim \triangle ABC$$\triangle PDE \sim \triangle PCB$, tenemos

[PBC] = ... = $3hk^2$; y [ABC] = ... = $7hk^2$.

∴ [EC] = [ABC] – [ADE] = $7hk^2 – 7h$

[DPB] = $\dfrac {(7hk^2 – 7h) – 3h – 3hk^2}{2} = 2hk^2 – 5h$

$\dfrac {[DBP]}{[DPE]} = \dfrac {k}{1} = \dfrac {2hk^2 – 5h }{3h}$

Después de la eliminación de la "h" , nos pondremos $k = \dfrac {5}{2}$ como la única solución viable a partir de la resultante de la ecuación cuadrática.