Podría alguien darme un ejemplo de medida finita que tiene valor distinto de cero para todos los no-vacío medibles?

Question

Estoy tratando de construir un número finito de medida definidos en Borel sigma álgebra de $[0,1]$ de tal forma que cada conjunto no vacío tiene un valor distinto de cero de la medida.

¿Alguien puede darme una ayuda para encontrar a esa medida?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tal medida no existe.

Suponga que $\mu([0, 1]) = M < \infty$. Entonces la cardinalidad de a $T_n = \{x \in [0, 1] \mid \mu(\{x\}) > \frac{1}{n}\}$ es en la mayoría de las $Mn$ y, por tanto, finito. Ya que cada conjunto no vacío se supone que tiene una medida positiva, la identidad de $[0, 1] = \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}} T_n$ mantiene. Pero esto es imposible, ya $[0, 1]$ es incontable y el contable de la unión finita de conjuntos es en la mayoría de los contables.