Una pregunta de probabilidad que utiliza el binomio de expansión

Question

La cuestión es como sigue:

(i) Encontrar el binomio de expansión de $(1-x)^{-3}$ hasta e incluyendo la $x^{4}$.

(ii) Un jugador lanza una de las 6 caras de la feria de morir al azar. Si obtiene un número par, se pierde el juego y el juego termina. Si se pone un "1", "3" o "5" que le tira el dado de nuevo. Gana el juego si se pone "3" o "5" tres veces consecutivamente (por ejemplo. 335, 555, 353) y el juego termina. Encontrar la probabilidad exacta de él para ganar el juego.

He estado pensando en esta pregunta por un buen rato. Obviamente, el autor de la pregunta nos quiere resolver la parte (ii) con la ayuda de la parte (i). Sin embargo, para resolver la parte (ii), parece más una serie infinita para mí (las combinaciones posibles de ganar el juego).

Alguien podría contribuir a resolver esta pregunta por favor?

Answer 1

Binomio de expansión de $$(1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!} x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!} x^3 + \frac{a(a-1)(a-2)(a-3)}{4!} x^4 + {\cal O}(x^5)$$ al $|x| < 1$.

Parte 2) me acaba de escribir el patrón de él ganar en 3 pasos, 4 pasos, de 5 pasos, etc. $$ \Pr(Ganar) = \frac{1}{3^3} \bigg[ 1 + \Big(\frac{1}{6}\Big) + \Big(\frac{1}{6^2} + \frac{1}{6 \cdot 3}\Big) + \Big(\frac{1}{6^3} + 2 \frac{1}{6^2\cdot3} + \frac{1}{6\cdot 3^2}\Big) + \Big(\frac{1}{6^4} + 3 \frac{1}{6^3\cdot3} + 3\frac{1}{6^2\cdot 3^2}\Big) + \Big(\frac{1}{6^5} + 4 \frac{1}{6^4\cdot3} + 6\frac{1}{6^3\cdot 3^2}\Big) + \cdots \bigg] $$ ¿Puedes ver lo que se puede hacer desde aquí?

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Yo les escribí a medida que la serie la que se pueden sumar.

$$\Pr(Win) = \frac{1}{3^3}\bigg[\sum_{n=0}^\infty 6^{-n} + \frac{1}{3}\sum_{k=0}^\infty k 6^{-k} + \frac{1}{3^2} \sum_{h=1}^\infty {h+1 \choose 2}6^{-h} \bigg],$$

Cada uno de los cuales se pueden sumar sin demasiada dificultad.

Answer 2

Esto en realidad no responder a su pregunta de cómo hacer uso de la parte (i), pero ya que usted ya ha aceptado una respuesta que no hacer eso, tal vez eso no es tan malo, y tal vez esta respuesta puede ayudar a alguien más que responder a la pregunta original.

La generación de la función de tres variables $x,y,z$ para las secuencias de tres tipos de rollos con exactamente un rollo de tipo $z$ al final y sin tres rondas consecutivas de tipo $x$ es

$$ z\left(1+x+x^2\right)\sum_{j=0}^\infty\left(y\left(1+x+x^2\right)\right)^j=z\cdot\frac{1+x+x^2}{1-y\left(1+x+x^2\right)}\;. $$

La sustitución de las probabilidades $x=\frac13$, $y=\frac16$, $z=\frac12$ los rendimientos de la probabilidad

$$ \frac12\cdot\frac{1+\frac13+\frac19}{1-\frac16\left(1+\frac13+\frac19\right)}=\frac{39}{41} $$

para perder el juego, y por lo tanto $\frac2{41}$ para ganar el juego.

La expansión de la $(1-x)^{-3}$ podría entrar en él si $1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}$ es utilizado.