Computación $\int \sin^n ax \, dx$

Question

Necesito calcular la siguiente integral. Buscando en una parte integral de la tabla que he encontrado que la forma cerrada de esta integral es igual a:

$$ \int \sin^n ax \, dx = -\frac 1 a \cos ax\ _2F_1 \left[ \frac 1 2, \frac{1-n} 2, \frac 3 2 \cos^2 ax \right] \etiqueta{65} $$

El problema es que no sé por qué el símbolo de $_2F_1$ representa. Por otra parte, ¿alguien puede darme una referencia para la comprensión de la derivación anterior? Tal vez un libro con una prueba con una definición clara y pasajes...

Muchas gracias a cualquiera que pueda ayudar!

Edit: he encontrado que la función de arriba se llama función hipergeométrica. De todos modos, alguna sugerencia de dónde encontrar una completa prueba de esta derivación es muy apreciado!

Answer 1

He intentado $a=1, n=2$ ...

En realidad lo hacen de acuerdo (bueno, difieren por una constante) de$0$$\pi$. así que tal vez hay alguna restricción en la fórmula?

agregó
Por extraño $n$, que hypergeom es un polinomio. Pero no para, incluso,$n$. Por diversión que amplió el caso de $n=2$...

$$ -\cos \left( x \right) +\frac{\left( \cos \left( x \right) \right) ^{3}}{6}+\frac{\left( \cos \left( x \right) \right) ^{ 5}}{40}+{\frac { \left( \cos \left( x \right) \right) ^{7}}{112}}+{\frac { 5\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{9}}{1152}}+{\frac {7\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{11}}{2816}} +{\frac {21\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{13}}{13312}}+{ \frac {11\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{15}}{10240}}+{ \frac {429\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{17}}{557056}}+{ \frac {715\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{19}}{1245184}}+{ \frac {2431\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{21}}{5505024}}+{ \frac {4199\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{23}}{12058624}}+ {\frac {29393\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{25}}{104857600 }}+{\frac {52003\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{27}}{ 226492416}}+{\frac {185725\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{ 29}}{973078528}}+{\frac {334305\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{31}}{2080374784}}+{\frac {3231615\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{33}}{23622320128}}+{\frac {3535767\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{35}}{30064771072}}+{\frac {64822395\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{37}}{635655159808}}+{\frac { 39803225\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{39}}{446676598784}} +{\frac {883631595\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{41}}{ 11269994184704}}+{\frac {1641030105\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{43}}{23639499997184}}+{\frac {407771117\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{45}}{6597069766656}}+{\frac {11435320455 \, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{47}}{206708186021888}}+{ \frac {171529806825\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{49}}{ 3448068464705536}}+\dots $$