Es correcto? $\tan x + \cot x \ge 2$ a prueba de

Question

La pregunta es para probar $\tan x + \cot x \ge 2$ al $x$ es una aguda ángel.

Esto es lo que hice

$$\begin{align} \tan x + \cot x &\ge 2\\ \frac{1}{\sin x \cos x} &\ge 2\\ \left(\frac{1}{\sin x \cos x}\right) - 2 &\ge 0\\ \left(\frac{1 - 2\sin x \cos x}{\sin x \cos x}\right) &\ge 0\\ \left(\frac{(\sin x - \cos x)^2}{\sin x \cos x}\right) &\ge 0\\ \left(\frac{(\sin x - \cos x)^2}{\sin x \cos x}\right) &\ge 0\\ \end{align}$$

Tanto el numerador y el denominador nunca será negativo porque el numerador es alimentado a dos y cosx & sinx son positivos cuando el ángel es aguda.

Es correcto? Hay otra manera de solucionar?

Answer 1

usando el lema $$t+\frac{1}{t}\geq 2$$ for $t>0$ we get the inequality $$\tan(x)+\frac{1}{\tan(x)}\geq 2$$ su forma es también aceptar.

Answer 2

Ya tenemos que

$$\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$$

Si $x$ es un ángulo agudo estrictamente entre el$0$$\pi/2$,$\sin x \cos x > 0$. Por lo tanto $\tan x + \cot x \geq 2$ si y sólo si $$1 \geq 2\sin x \cos x \ \ \ \ \ \text{ or alternatively } \ \ \ \ \ \ \sin(2x) \leq 1$$ y este último resultado es verdadero, porque el $\sin\theta \leq 1$ para todos los ángulos $\theta$.

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En otras palabras, que casi lo tenía. En la segunda línea, usted acaba de darse cuenta de que $$2\sin x \cos x$$ could be written as $\el pecado 2x$ and then bounded above by $1$.

Answer 3

Buen Trabajo

Simplemente no empezar por asumir la igualdad o desigualdad.

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De hecho, hay otra manera, no Hay un modo elemental

Ya que sólo se preocupan de los ángulos agudos

$$\left(a-\frac1a\right)^2\ge0$$

$$a^2-2+\frac1{a^2}\ge0$$ $$a^2+\frac1{a^2}\ge2$$

poner $a^2=\tan x$

$$\tan x+\frac1{\tan x}\ge2$$

$$\tan x+\cot x\ge2$$

$\text{Game Over!}$

Answer 4

Desde $x$ es un ángulo agudo, $\cot x$ $\tan x$ son positivos.

Por lo tanto, por A. M.-G. M. desigualdad,

$\frac {\tan x + \cot x}{2} \ge \sqrt{\tan x \times \cot x}$

Ahora, $\tan x \times \cot x = 1$ (por definición)

Por lo tanto obtenemos,

$\tan x + \cot x \ge 2 \sqrt{1}$

Y así, $\tan x + \cot x \ge 2 $

La prueba completa.

Answer 5

Es muy fácil...

$\tan x + \cot x$
= $\tan x + \cot x - 2 \sqrt {\tan x \cot x} + 2 \sqrt{\tan x \cot x}$
=$(\sqrt {\tan x} -\sqrt {\cot x})^2+ 2$ [debido a $\tan x \cot x =1$]
Desde que el cuadrado de cualquier número es mayor que o igual a cero, podemos escribir,
$(\sqrt {\tan x} -\sqrt {\cot x})^2 \ge 0$
Por eso, $(\sqrt {\tan x} -\sqrt {\cot x})^2 + 2 \ge 2$
Pero, $(\sqrt {\tan x} -\sqrt {\cot x})^2 + 2 = \tan x + \cot x$
Por eso, $\tan x + \cot x \ge 2$

NOTA : queremos que cualquier número cuadrado que hacen que este problema sea más fácil, esta es una técnica estándar para probar la mayoría de las desigualdades en las matemáticas, por lo que hemos añadido y restar $2 \sqrt{\tan x \cot x}$ en la principal expresión para hacer que la expresión de un cuadrado perfecto.