El caos en el método Newtons

Question

Estoy tratando de demostrar que el método de Newton aplicado a ${\rm f}\left(\, x\,\right) =x^{2} + c$ es caótico para $c > 0$ .

Sé que tengo que probar:
(a) Los puntos periódicos de ${\rm f}$ son densos en $X$ ,
(b) ${\rm f}$ es topológicamente transitivo y
(c) ${\rm f}$ muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales.

y tenemos las siguientes definiciones para (a), (b) y (c).

(a) Que $G \subset X$ donde $X$ es un espacio métrico con métrica ${\rm d}$ . Entonces $G$ se dice que es denso en $X$ si, para cualquier $x \in X$ y $\epsilon > 0,\exists\ y \in g$ tal que ${\rm d}\left(\, x,y\,\right) < \epsilon$ . Equivalentemente, $G$ es denso en $X$ si para cualquier $x \in X,\exists\ {x_{n}} \subset G$ tal que $x_{n} \to x$ sur $X$ como $n \to\ \infty$ .

(b) La función ${\rm f}:X \to X$ es topológicamente transitivo si para todos los conjuntos abiertos $U$ y $V$ sur $X$ , $\exists\ x \in U$ y un número natural $n$ tal que ${\rm f}^{n}\left(\, x\,\right)$ está en $V$ .

(c) Que $X$ sea un espacio métrico con métrica ${\rm d}$ . La función ${\rm f}:X \to X$ presenta una dependencia sensible de las condiciones iniciales si $\exists\ \delta > 0$ tal que $\forall\ x \in X$ y $\forall\ \epsilon > 0$ Hay un $y \in X$ y un número natural $n$ tal que ${\rm d}\left(\, x,y\,\right) < \epsilon$ y ${\rm d}\left(\,{\rm f}^{n}\left(\, x\,\right),{\rm f}^{n}\left(\, y\,\right)\right) > \delta$ .

Me cuesta empezar porque no encuentro ningún ejemplo de alguien que haga este tipo de cosas en ningún sitio. La mayoría de los libros tienen este tipo de cosas como ejercicio pero sin soluciones.

Cualquier ayuda sería brillante.

Answer 1

Le recomiendo que utilice la noción de Conjugación dinámica - una herramienta muy importante en la dinámica. La función $f$ se dice que es dinámicamente conjugada con $g$ si existe una función $\varphi$ tal que $f\circ\varphi = \varphi\circ g$ . No es difícil demostrar que esto implica $f^n\circ\varphi = \varphi\circ g^n$ . Como resultado, $\varphi$ mapea una órbita de $g$ a partir de $z_0$ a una órbita de $f$ a partir de $\varphi(z_0)$ para que la dinámica de $f$ y $g$ estarán estrechamente relacionados. Normalmente, la conjugación $\varphi$ se supone que tiene algunas propiedades agradables. Lo más bonito $\varphi$ cuanto más estrecha sea la relación entre $f$ y $g$ .

Por ejemplo, dejemos que $f_c(z)=z^2+c$ para que la función de iteración del método de Newton sea $$n_c(z)=\frac{z}{2}-\frac{c}{2\,z}.$$ Resulta que $n_c(z)$ es conjugado con $n_1$ a través de $\varphi(z)=\sqrt{c}\,z$ . Podemos demostrarlo con un par de cálculos sencillos:

\begin{align} n_c(\varphi(z)) &= \frac{\sqrt{c}\,z}{2} - \frac{c}{2\sqrt{c}\,z} = \frac{\sqrt{c}\,z}{2} - \frac{\sqrt{c}}{2\,z} \\ \varphi(n_1(z)) &= \sqrt{c}\left(\frac{z}{2}-\frac{1}{2\,z}\right) = \frac{\sqrt{c}\,z}{2} - \frac{\sqrt{c}}{2\,z}. \end{align}

Como son iguales, tenemos la conjugación que buscabas. Ten en cuenta que esto ya ayuda a tu causa: si puedes demostrar que $n_1$ es un mapa caótico en la línea, entonces también lo es $n_c$ para cualquier elección de $c$ . Así, podrá centrarse en la única opción de $c$ .

Ahora para demostrar que $n_1$ es un mapa caótico, puedes demostrar que es dinámicamente conjugado con alguna función que se sabe que es caótica. Dejaré que completes los detalles, pero aquí hay algunas posibilidades.

• El función de cuadratura compleja $g(z)=z^2$ es conocido por ser caótico en el círculo unitario. Su función $n_1$ es conjugado con $g$ a través del correspondiente Transformación de Mobius .
• La función de cuadratura es conjugada a $f_{-2}(z)=z^2-2$ a través de la conjugación $\varphi(z)=z+1/z$ . Además, $\varphi$ mapea el círculo unitario al intervalo $[-2,2]$ . Así, $f_{-2}$ es caótico en ese intervalo. Si ya sabes que $f_{-2}$ es caótico en el intervalo (quizás estudiando su relación con la función logística), entonces se puede componer esta conjugación con la transformación de Mobius anterior para obtener una conjugación entre $n_1$ y $f_{-2}$ demostrando así que $n_1$ es caótico. La ventaja es que su argumento final puede evitar por completo las variables complejas.
• La función de duplicación $d(x) = 2x \mod 1$ es caótico en el intervalo $[0,1)$ . Hay una conjugación bastante obvia entre la función de cuadratura en el círculo y la función de duplicación en el intervalo que surge del hecho de que la función de cuadratura duplica el argumento complejo. Por composición, $n_1$ es conjugada con la función de duplicación. De nuevo, esto permitiría evitar el uso de la aritmética compleja, si se desea. La ventaja aquí es que la función de duplicación es muy conocida por ser caótica.
• El Mapa de Bernoulli es un mapa caótico en la dinámica simbólica. Aunque requiere algunas nociones avanzadas de topología métrica, es super Es sencillo ver que es un mapa caótico, una vez que se entienden esas ideas. No es nada difícil demostrar que la función de duplicación es conjugada con el mapa de Bernoulli a través de su mapa de itinerario. De nuevo mediante la composición, se podría establecer una conjugación entre $n_1$ y el mapa de Bernoulli.