Siempre puedes activar lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes (como el que usted está preguntando acerca de) en un sistema lineal. Aquí, usted tiene $f''-f=0$, por lo que si establecemos $v=\begin{pmatrix}f\\ f'\end{pmatrix}$,$v'=\begin{pmatrix}f'\\f''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f'\\ f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}v$.
El punto de esto es que usted reducir la resolución de la ecuación de pura álgebra lineal. En primer lugar, llamar a $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, y tenga en cuenta que podemos diagonalize como $A=S\Lambda S^{-1}$ donde$S=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}$$\Lambda=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$. (Tenga en cuenta que la primera columna de $A$ es un autovector con autovalor $-1$, y el segundo es un autovector con autovalor $1$.)
La razón por la que hacemos esto es que $S\Lambda S^{-1}v=v'$ fib $\Lambda S^{-1}v=S^{-1}v'=(S^{-1}v)'$, de modo que, dejando $w=S^{-1}v$, tenemos que la ecuación original es equivalente a $\Lambda w=w'$. Ahora, si $w=\begin{pmatrix}g\\ h\end{pmatrix}$, entonces esto es decir que el $g'=-g$, e $h'=h$, por lo que el $g(x)=ae^{-x}$ $h(x)=be^{x}$ para algunas constantes $a,b$. Desde $\begin{pmatrix}f\\f'\end{pmatrix}=v=Sw$, se deduce que el $f$ es una combinación lineal de $e^x$$e^{-x}$.
El enfoque es perfectamente general, y tan fácil como que el $A$ es diagonalizable. Si $A$ no es diagonalizable (que para las matrices que tenemos aquí, sucede precisamente cuando $A$ ha repetido autovalores), todavía podemos resolver el sistema de esta manera, utilizando ahora el Jordan en la forma de $A$. Yiorgos la solución puede ser visto fácilmente a ser equivalente a lo que estamos haciendo aquí. Un buen libro que explica todo esto es el volumen II de Apostol del Cálculo.
Permítanme explicar brevemente la conexión. Nota primero que $A^2-I=0$, e $p(x)=x^2-1$ es el más pequeño distinto de cero (monic) el polinomio que se desvanece cuando se aplica a $A$ (es el mínimo polinomio de $A$). Esto es sólo el polinomio característico de a $A$. De hecho, dado ningún lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, la reescritura como un sistema de $Av=v'$ siempre resulta en un $A$ cuyo polinomio mínimo es también el polinomio característico, y es el polinomio característico de la ecuación: Si queremos resolver $f^{(n)}-a_{n-1}f^{(n-1)}-\dots-a_0f=0$, esta ecuación ecuación polinómica es $x^n-a_{n-1}x^{n-1}-\dots-a_0$. Esto muestra que los autovalores de a $A$ (las raíces de la $p$) están estrechamente relacionadas con las soluciones de la ecuación diferencial.
Para hacer la relación más transparente, escribir $D$ para el operador de la derivada: $Df=f'$. Entonces la ecuación es sólo $(D^n-a_{n-1}D^{n-1}-\dots-a_0I)f=0$ donde $I$ es la identidad del operador, $If=f$. Para solucionar esto, podemos factorizar el polinomio en $D$, y resolver. Por ejemplo, comenzando con $f''-f=0$, obtenemos $(D^2-I)f=0$ o $(D-I)(D+I)f=0$, por lo que si $g=(D+I)f$, $(D-I)g=0$ o $g'=g$ o $g=ae^x$. Entonces tenemos que resolver $(D+I)f=g$ o $f'+f=ae^x$, lo $f=be^{-x}+ce^x$.
En general, si el resultado polinomio tiene grado $n$ $n$ diferentes raíces $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, el procedimiento bosquejado, nos da que la solución tiene la forma $b_1e^{\lambda_1 x}+\dots+b_ne^{\lambda_n x}$ para algunas constantes $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. El caso donde las raíces se repite es ligeramente más implicado, y en lugar de las constantes, el $b_i$ ahora son polinomios en $x$ ($b_i$ de grado $k_i-1$ si $\lambda_i$ aparece como una raíz de $k_i$ a veces). Esto puede ser probado directamente, y luego se usa para deducir la forma general de la Jordan en la forma de $A$, o puede ser demostrado de partida con el Jordan en la forma de $A$.
