Para mayor referencia, tomar $a=4,b=c=1$ en su fórmula (dada en ( https://en.wikipedia.org/wiki/Tridiagonal_matrix )), los valores propios de la matriz tridiagonal $A'$ que se obtiene de $A$ al establecer $A'_{n1}=A'_{1n}=0$ son:
$$\tag{*}\mu_k=4 + 2 \cos(\tfrac{2\pi k}{n+1})\ \ \ \ \text{for} \ \ \ \ k=1,\cdots n.$$
$A$ siendo una matriz circulante [con "mensaje" circulante $410...01$ asociado al polinomio $f(x):=4+1x+1x^{n-1}$ ], tiene los siguientes valores propios:
$$\tag{1}\lambda_k=f(\omega_k) \ \ \text{where} \ \ \omega_k=\exp(\tfrac{2 i\pi k}{n}) \ \ \text{(k - th root of unity)}$$
(véase ( https://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix )).
$$\lambda_k=4 + 1 \omega_k+ 1 (\omega_k)^{n-1}=4+\exp(\tfrac{2 i\pi k}{n})+\exp(\tfrac{2 i\pi k (n-1)}{n})=4+\exp(\tfrac{2 i\pi k}{n})+\exp(\tfrac{-2 i\pi k}{n}).$$
Así,
$$\tag{2}\lambda_k=4 + 2 \cos(\tfrac{2\pi k}{n})\ \ \ \ \text{for} \ \ \ \ k=0,1,\cdots n-1.$$
Un hecho sorprendente es que la fórmula (2) es casi idéntica a la fórmula (*), excepto que los denominadores $n+1$ se han sustituido por denominadores $n$ .
Así, para valores grandes de $n$ la perturbación inducida es pequeña...
Bonito, ¿verdad?
Veamos ahora un ejemplo y mostremos que todo esto se puede considerar en relación con la Transformada Discreta de Fourier (DFT).
Un ejemplo: Si $n=4$ , matriz
$$A=\begin{pmatrix}4 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$
tiene valores propios
$$\lambda_0=6,\lambda_1=4,\lambda_2=2,\lambda_3=4$$
que cumplan las fórmulas (2).
Una conexión con la transformada discreta de Fourier (DFT) .
Sigamos con el mismo ejemplo. La DFT del "mensaje" $V=(1,4,1,0)$ viene dada por una multiplicación matricial-vectorial, con la matriz de Fourier cuyos coeficientes son:
$$\tag{3}F_{KL}=e^{f KL} \ \ \text{with} \ \ f :=- i \tfrac{2\pi}{n}, \ \text{here with} \ n=4.$$
(nótese el signo menos), es decir,
$ \underbrace{\begin{pmatrix} e^{f0\times0} & e^{f0\times1} & e^{f0\times2} & e^{f0\times3} \\ e^{f1\times0} & e^{f1\times1} & e^{f1\times2} & e^{f1\times3} \\ e^{f2\times0} & e^{f2\times1} & e^{f2\times2} & e^{f2\times3} \\ e^{f3\times0} & e^{f3\times1} & e^{f3\times2} & e^{f3\times3} \end{pmatrix}}_{F}$ $\begin{pmatrix}1 \\ 4\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}= \left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ \end{array}\right) \begin{pmatrix}4 \\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 4\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}$
encontrando de esta manera los valores propios dados anteriormente.
Este ejemplo puede ampliarse a un $n \times n$ matriz $A$ donde la multiplicación matriz-vectorial mostrada anteriormente es equivalente a la combinación lineal
$$\tag{4}4F_0+1F_1+1F_{n-1}$$
(donde $F_k$ es el $k$ columna de $F$ ). Y volvemos a encontrar la expresión (2).
Para saber más sobre la conexión con la transformada de Fourier, véase la respuesta a esta pregunta ( Matriz circulante : vector propio ).
