Cómo mostrar esta $\lim_{n\rightarrow\infty} {\sqrt[n]{1+n^2}} =1$

Question

$$\lim_{n\rightarrow\infty} {\sqrt[n]{1+n^2}} =1$$ Sé que esto es cierto para n, pero para que esta expresión no sé.

Answer 1

Sugerencia:

$\sqrt[n]{n^2}<\sqrt[n]{1+n^2}<\sqrt[n]{(n+1)^2}$

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^2}=1=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(n+1)^2}$

Answer 2

Considere la función $$f(x)=(x^2+1)^{1/x}=e^{\frac{\ln(x^2+1)}x},\quad x>0$$

Entonces $$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x^2+1)}x\stackrel*=\lim_{x\to\infty}\frac2{x^2+1}=0$$ donde de l'Hospital de la regla ha sido aplicada en (*).

Dado que la función exponencial es continua, $$\lim_{x\to\infty}f(x)=e^0=1$$