Análisis Real de la pregunta

Question

Estoy estudiando algunos de los antiguos exámenes y encontré este que me tiene perplejo. Supongamos $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ es absolutamente continua. Mostrar

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{2^{n}-1} \left| f( k/2^{n}+1/2^{n} )-f( k/2^{n} )\right|^{2} =0$$

Puedo probar esto si la derivada de $f$ es limitada, pero no puedo resolver el caso general.

Answer 1

Este resultado se confirma con algunos extras hechos elementales en el Teorema 1.10, Página 8, de "Introducción al Cálculo Estocástico con Aplicaciones" por Fima Klebaner.

Cada absolutamente continua de la función es continua. Esta resulta ser continua en un conjunto compacto, por lo que también uniformemente continua (aunque, creo que podría estar directamente implicados por la continuidad absoluta. No recuerdo de improviso).

De todos modos, es un resultado estándar que cualquier absolutamente función continua $f$ ha finito de variación, $V_{f} = M < \infty$.

A continuación, la variación cuadrática puede ser escrita así: $$[f](t) = \lim_{\delta_{n}\to{0}} \sum_{i=0}^{n-1}\quad \biggl( f(t_{i+1}^{n}) - f(t_{i}^{n})\biggr)^{2}$$ $$\leq \lim_{\delta_{n}\to{0}} \max_{i}|f(t_{i+1}^{n}) - f(t_{i}^{n})|\cdot{}\sum_{i=0}^{n-1}\quad |f(t_{i+1}^{n}) - f(t_{i}^{n})|$$ $$\leq \lim_{\delta_{n}\to{0}} \max_{i}|f(t_{i+1}^{n}) - f(t_{i}^{n})|\cdot{} M$$

La última simplificación es debido a que la variación es el supremum tomado todas las particiones de la cantidad de $\sum_{i=0}^{n-1}\quad |f(t_{i+1}^{n}) - f(t_{i}^{n})|$.

Ahora, desde la $f$ es uniformemente continua en a $[0,1]$ y por lo tanto en $[0,t]$ cualquier $t\in [0,1]$, el límite último tiende a cero: $$\lim_{\delta_{n}\to{0}} \max_{i}|f(t_{i+1}^{n}) - f(t_{i}^{n})| = 0.$$

La elección de la partición en su caso se trata de $k/2$ $1/2$ elevado a la potencia $n$, pero no importa. El $t_{i}^{n}$ partición de puntos, y la notación $\delta_{n}$ $\delta_{n}$- fina de la partición de la prueba en general.