El cálculo de la n-ésima derivada de $\frac{x}{x+1}$

Question

Se me pidió para calcular la n-ésima derivada de $f(x) =\frac{x}{x+1}$. Mi solución:

$$f'(x) = (x+1)^{-2}$$ $$f''(x) = (-2)(x+1)^{-3}$$ $$f'''(x) = (-2)(-3)(x+1)^{-4}$$ $$f^{n}(x) = n!(x+1)^{-(n+1)} . (-1)^{n+1}$$

Yo estaba seguro de que me dieron la respuesta correcta, pero cuando reviso la nota, dijo que la respuesta fue la misma que la mía, excepto para el $(-1)$ part. Se dice $(-1)^{n-1}$, en lugar de lo que he dicho. Mi pregunta es si aún está a la derecha de todos modos?

Answer 1

Por supuesto que es correcto, usted sólo tiene que darse cuenta de que

$$(-1)^{n+1}=(-1)^{n-1+2}=(-1)^{n-1} (-1)^2 = (-1)^{n-1}$$

Como sugerencia, se podría tratar de demostrar su expresión para$f^{(n)}(x)$, en una forma más rigurosa el uso de la inducción, si no lo han hecho hasta ahora! ;)

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\frac x{x+1}=1-\frac1{x+1}=1-(x+1)^{-1}$$ Por lo que el $n$-ésima derivada es visto inmediatamente a ser $$-(-1)(-2)\ldots(-n)(x+1)^{-n-1}=\frac{(-1)^{n+1}n!}{(x+1)^{n+1}}$$ Así que usted puede ver que tanto su respuesta y la solución es correcta, pero $(-1)^{n+1}$ parece encajar mejor con el exponente de $(x+1)$.

Answer 3

Sugerencia: $\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac1{x+1}$

En otras palabras, la solución es correcta. Tenga en cuenta que $(-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}$