Meditando en la pag.d.e. por un minuto, podemos ver que cualquier función de la forma $a(x, y) = b(xy)$ satisface $x a_x = y a_y$, y esto es (creo) la solución general, pero no la puedo ver de improviso cómo probar esto.
Aquí, en cambio, es otra estrategia para la búsqueda de la glide-invariante $2$-formas que evita la solución de una p.d.e.:
La informática da $\mathcal L_V (dx \wedge dy) = 0$ (que refleja el hecho de que los sobres son de la zona-la conservación), por lo que la regla de Leibniz para la Mentira derivado de da $$\mathcal L_V \omega = (V \cdot f) \,dx \wedge dy,$$
y por lo tanto las soluciones de de $\mathcal L_V \omega = 0$ $2$formas de $f(x, y) \,dx \wedge dy$ para que el (liso) la función $f(x, y)$ es constante en las líneas de flujo de $V$. Esta es una mejora sobre el método original de la pregunta en el sentido de que requiere la resolución de una junta.d.e., en lugar de una p.d.e. (Esto es una gran ventaja para nosotros, ya que en esta configuración, se está garantizada la unicidad de las soluciones de o.d.e.s la satisfacción de una determinada condición inicial.) En particular, si $(x(t), y(t))$ parametrizes una línea de flujo de $V$, obtenemos el sistema simple de
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
x' &=& \phantom{-}x \\
y' &=& -y
\end{array}
\right. .
$$
Esto tiene la solución general $(x(t), y(t)) = (x_0 e^t, y_0 e^{-t})$; vemos de inmediato que para cualquier solución, $x(t) y(t) = x_0 y_0$, y no es difícil comprobar que cualquier solución huellas sobre la totalidad de la hiperbólico arco $\{x y = k, x > 0\}$ donde $k = x_0 y_0$. Por lo tanto, las funciones de $f$ constante en las líneas de flujo son las funciones de la forma $f(x, y) = g(xy)$, y la solución general $\omega$ $\mathcal L_V \omega = 0$$$\boxed{\omega = g(x y) \,dx \wedge dy} .$$
(Mi respuesta original abordó una versión anterior de la pregunta; yo voy a dejar aquí para la posteridad. De hecho, uno puede adaptar el método a dar otra solución a este problema, el uso hiperbólico de coordenadas en lugar de las coordenadas polares.)
La fórmula para el generador infinitesimal $V$ de la rotación es incorrecta; debe ser, por ejemplo,
$$V := x \partial_y - y \partial_x .$$ (As it's written now, $V$ genera deslizamientos, que son hiperbólicos análogos de la rotación).
Sugerencia de Cualquier rotación invariable $2$-forma en el semiplano se extiende de manera única a una rotación invariable $2$-forma en el plano perforado, $\Bbb R^2 - \{ 0 \}$, y dado que estamos interesados en rotacionalmente simétricas objetos, bien podemos trabajar en coordenadas polares. En tales coordenadas, podemos escribir $$\omega = f(r, \theta) \, dr \wedge d\theta,$$ and the rotations are generated by $\partial_{\theta}$.
Así, la invariancia de la condición se convierte en $$0 = \mathcal L_{\partial_{\theta}} f = \frac{\partial f}{\partial \theta} ,$$ and so the rotationally invariant $2$-forms are those of the form $f(r) \,dr \wedge d\theta$.
