Diferenciabilidad de la función para $\Bbb{Q}$ y $\Bbb{R}\setminus \Bbb{Q}$

Question

Una función $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ se define por $f(x)=x$ , si $x$ es racional; $\sin(x)$ si $x$ es irracional.

Demuestra que $f$ es diferenciable en $0$ y $f'(0)=1$ .

Aquí estoy pensando en aplicar la definición por separado para racionales e irracionales .. y estoy obteniendo el mismo límite ... ¿Pero podemos concluir la diferenciabilidad con este resultado?

Answer 1

Sí, el hecho de que esto sea válido para los racionales y los irracionales por separado (pero de forma coherente) te permite concluir la diferenciabilidad. En particular, se trata de demostrar que el límite $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}h=1$$ y tienes que $f(x)$ en cada punto es igual a $f_1(x)=x$ o $f_2(x)=\sin(x)$ en cada punto. Usted tiene $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_1(h)}h=1$$ $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_2(h)}h=1$$ Entonces, se puede concluir que el límite original existe como Para cualquier $\varepsilon$ puede elegir $\delta_1$ y $\delta_2$ tal que para cualquier $|x|<\delta_1$ tienes $\left|\frac{f_1(h)}h-1\right|<\varepsilon$ y para cualquier $|x|<\delta_2$ tienes $\left|\frac{f_2(h)}h-1\right|<\varepsilon$ . Esto es sólo a partir de la definición de los dos últimos límites. Entonces, para cualquier $|x|<\min(\delta_1,\delta_2)$ se consigue que $\left|\frac{f(h)}h-1\right|<\varepsilon$ ya que una de las dos desigualdades anteriores será aplicable. Por lo tanto, $f(h)$ debe tener la misma derivada que $f_1$ y $f_2$ donde esas dos funciones y sus derivadas coinciden.

Answer 2

Por definición, tenemos que calcular $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}$

Aviso para cualquier $x\in \mathbb{R}$ tenemos $|x|\geq|\sin(x)|$ (Fácil de comprobar utilizando el teorema del valor medio). Esto significa que para $h>0$ tenemos $\sin(h)\leq f(h)\leq h\Rightarrow \frac{\sin(h)}{h}\leq \frac{f(h)}{h}\leq 1$ por el teorema de squeeze $\displaystyle \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(h)}{h}=1$ . Cuando $h<0$ la desigualdad se invierte y también podemos utilizar el teorema de squeeze para concluir $\displaystyle \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(h)}{h}=1$ .

Por lo tanto, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}=1$ la función es diferenciable en $0$ y la derivada es 1.

Answer 3

Si pones $g(x)=f(x)-x$ entonces basta con demostrar $g'(x)=0$ .

Si puede demostrar que $|g(x)|\le x^2$ entonces tienes $$-x \le \frac{g(x)}x \le x$$ lo que implica $g'(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{g(x)}x=0$ (utilizando el teorema de squeeze).

Para demostrar la desigualdad para $|g(x)|$ puede utilizar alguna desigualdad para $\sin x$ . Algunas de estas desigualdades se pueden encontrar en este sitio. Por ejemplo, vea esta pregunta: Demostrar que $x - \frac{x^3}{3!} < \sin x < x$ para todos $x>0$