Resolver la recursión $a_{n}=ba_{n-1}+cd^{n-1}$

Question

Dejemos que $b,c,d\in\mathbb{R}$ sean constantes con $b\neq d$ . Dejemos que $$\begin{eqnarray} a_{n} &=& ba_{n-1}+cd^{n-1} \end{eqnarray}$$ sea una secuencia para $n \geq 1$ con $a_{0}=0$ . Quiero encontrar un fórmula cerrada para esta recursión. (Sólo conozco el término alemán geschlossene Formel y lo traduje de esa manera me pareció que podía ser correcto. Así que si me equivoqué, por favor corríjanme)

Primero escribí algunas de las cadenas y obtuve $$\begin{eqnarray} a_{n} &=& ba_{n-1}+cd^{n-1}\\ &=& b\left(ba_{n-2}+cd^{n-2}\right)+cd^{n-1}\\ &=& b\left(b\left(ba_{n-3}+cd^{n-3}\right)+cd^{n-2}\right)+cd^{n-1}\\ &=& b\left(b\left(b\left(ba_{n-4}+cd^{n-4}\right)+cd^{n-3}\right)+cd^{n-2}\right)+cd^{n-1}\\ &=& \dots\\ &=& \sum_{k=0}^{n}b^{k}cd^{n-k-1}\\ &=& \sum_{k=0}^{n}b^{k}cd^{n-\left(k+1\right)} \end{eqnarray}$$

Así que cogí la estructura en una serie. Ahora me pregunto cómo proceder. Me tomé la libertad de echar un vistazo a lo que WolframAlpha madera dicen a esta serie. Esperaba que me inspirara y lo conseguí

$$\sum_{k=0}^{n-1}b^{k} c d^{n-(k+1)} = (c (b^n-d^n))/(b-d)$$

¿Cómo se ha llegado a esto? Y lo más importante: ¿es útil mi enfoque? Gracias de antemano por cualquier consejo.

Edición: Mi solución final (recalculada)

$$\begin{eqnarray} a_{n} &=& ba_{n-1}+cd^{n-1}\\ &=& b\left(ba_{n-2}+cd^{n-2}\right)+cd^{n-1}\\ &=& b\left(b\left(ba_{n-3}+cd^{n-3}\right)+cd^{n-2}\right)+cd^{n-1}\\ &=& b\left(b\left(b\left(ba_{n-4}+cd^{n-4}\right)+cd^{n-3}\right)+cd^{n-2}\right)+cd^{n-1}\\ &=& b^{4}a_{n-4}+b^{3}cd^{n-4}+b^{2}cd^{n-3}+bcd^{n-2}+cd^{n-1}\\ &=& b^{5}a_{n-5}+b^{4}cd^{n-5}+b^{3}cd^{n-4}+b^{2}cd^{n-3}+bcd^{n-2}+cd^{n-1}\\ &=& b^{n}a_{0}+b^{n-1}c+\dots+b^{4}cd^{n-5}+b^{3}cd^{n-4}+b^{2}cd^{n-3}+cbd^{n-2}+cd^{n-1}\\ &=& \dots\\ &=& 0+b^{n-1}c+\dots+b^{4}cd^{n-5}+b^{3}cd^{n-4}+b^{2}cd^{n-3}+cbd^{n-2}+cd^{n-1}\\ &=& \sum_{k=0}^{n-1}b^{k}cd^{n-1-k}\\ &=& cd^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}b^{k}d^{-k}\\ &=& cd^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{b}{d}\right)^{k}\\ &=& cd^{n-1}\frac{1-\left(\frac{b}{d}\right)^{n}}{1-\left(\frac{b}{d}\right)}\\ &=& cd^{n-1}\frac{1-\frac{b^{n}}{d^{n}}}{1-\frac{b}{d}}\\ &=& cd^{n-1}\frac{\frac{d^{n}-b^{n}}{d^{n}}}{\frac{d-b}{d}}\\ &=& cd^{n-1}\frac{d^{n}-b^{n}}{d^{n}}\cdot\frac{d}{d-b}\\ &=& \frac{c\left(d^{n}-b^{n}\right)}{d-b} \end{eqnarray}$$

Answer 1

$\sum_{k=0}^{n}b^{k}cd^{n-(k+1)} = c d^{n-1}\sum_{k=0}^{n}b^{k}d^{-k}$ . Esta es la suma parcial de una serie geométrica de razón $b/d$ para el que probablemente conozcas la fórmula. Ahora simplifica.

Answer 2

Si sabes resolver recurrencias lineales, esto simplificaría tus cálculos:

$$\begin{eqnarray} a_{n} &=& ba_{n-1}+cd^{n-1} \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} da_{n-1} &=& dba_{n-2}+cd^{n-1} \end{eqnarray}$$

y restar....

Answer 3

Si $b=0$ entonces $a_n = cd^{n-1}$ .

Supongamos ahora que $b\neq 0$ . Primero puedes dividir ambos lados de la ecuación por $b^n$ , entonces se obtiene $$\frac{a_n}{b^n} = \frac{a_{n-1}}{b^{n-1}} + \frac{cd^{n-1}}{b^n}$$ Dejemos que $x_n = \frac{a_n}{b^n}$ y $q = \frac{d}{b}$ entonces $x_0 = a_0/b = 0$ , $q\neq 1$ y tenemos $$x_n = x_{n-1} + (c/b)q^{n-1} \mbox{ or } x_n - x_{n-1} = (c/b)q^{n-1}$$ Entonces podemos aplicar el método de la suma telescópica, $$\begin{eqnarray} x_n & = & x_0 + \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})\\ & = & (c/b)\sum_{i=1}^n q^{i-1}\\ & = & (\frac{c}{b})(\frac{1-q^n}{1-q}) \end{eqnarray}$$ Así que $$a_n = x_n b^n = (\frac{c}{b})(\frac{1-\frac{d^n}{b^n}}{1-\frac{d}{b}})b^n = \frac{c(b^n - d^n)}{b - d}$$

Answer 4

Argh... usa las técnicas de Wilf de "generatingfunctionology". Empieza a definir: $$A(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^n$$ Escribe también: $$a_{n + 1} = b a_n + c d^n$$ Multiplicar por $z^n$ , añadir sobre $n \ge 0$ : $$\frac{A(z) - a_0}{z} = b A(z) + c \frac{1}{1 - d z}$$ Resolver para $A(z)$ , expresados como fracciones parciales. Los términos resultantes son de las formas: $$(1 - \alpha z)^{-m} = \sum_{n \ge 0} \binom{-m}{n} (- \alpha)^n z^n = \sum_{n \ge 0} \binom{n + m - 1}{m - 1} \alpha^n z^n$$ Tenga en cuenta que: $$\binom{n + m - 1}{m - 1} = \frac{(n + m - 1) (n + m - 2) \ldots (n + 1)}{(m - 1)!}$$ Se trata de un polinomio en $n$ de grado $m - 1$ .