En la luz de tu pregunta anterior acerca de los parámetros, vamos a aclarar la definición de la bifurcación. Deje $\mathfrak{C}$ ser un monstruo modelo de nuestra teoría de la $T$, y deje $A\subseteq \mathfrak{C}$ ser un pequeño conjunto.
Definición: Una fórmula con los parámetros de $\mathfrak{C}$ horquillas $A$ si y sólo si implica una disyunción $\bigvee_{i=1}^n \varphi_i(x,c_i)$, de tal manera que cada fórmula $\varphi_i(x,c_i)$ divide $A$. Si $A\subseteq B$, luego de una completa tipo de $p(x)$ $S(B)$ horquillas $A$ si y sólo si contiene una fórmula que se bifurca $A$.
En la definición anterior, los parámetros de $c_i$ puede ser de cualquiera de las tuplas de $\mathfrak{C}$. Incluso cuando estamos hablando de un tipo de $p(x)\in S(B)$, $c_i$ no es necesario que vienen de $B$. De hecho, la definición sería muy tonta si se requiere que el$c_i$$B$. Por qué?
Observación: cada vez que un tipo completo contiene una disyunción, debe contener uno de los disjuncts. Así que si $p(x)\in S(B)$ horquillas $A$, presenciado por una disyunción $\bigvee_{i=1}^n \varphi_i(x,c_i)$ con todos los parámetros de $c_i$$B$, $p(x)$ contiene la disyunción, por lo $p(x)$ contiene algunos $\varphi_i(x,c_i)$, lo $p(x)$ ya divide $A$.
La razón por la que necesitamos arbitrario de parámetros de $\mathfrak{C}$ (es decir, ¿por qué necesitamos las nociones de bifurcación y dividiendo a posiblemente ser diferentes para completar tipos) es que el punto de esta definición es la de obtener nonforking extensiones de grandes conjuntos de parámetros. El conjunto de fórmulas con parámetros de$\mathfrak{C}$, que se dividen de más de $A$ no es necesariamente un ideal, pero el conjunto de fórmulas con parámetros de $\mathfrak{C}$ que desembolsar más de $A$ es un ideal. De ello se sigue que cualquier tipo de $p(x)\in S(B)$ que no desembolsar más de $A$ tiene una extensión a nivel mundial en $S(\mathfrak{C})$ que no desembolsar más de $A$, y por lo tanto (por la restricción) una extensión en $S(C)$ que no desembolsar más de $A$ cualquier $B\subseteq C$.
OK, ahora para tu pregunta. Supongamos $M\models T$ $|A|^+$saturada, $A\subseteq M$, e $p(x)\in S(M)$.
Reclamo: $p(x)$ divide $A$ si y sólo si las horquillas de más de $A$.
Prueba: Dividir fácilmente implica que se bifurcan, así que supongo $p(x)$ horquillas $A$. A continuación, contiene una fórmula $\psi(x,m)$ con los parámetros de $M$ tal que $\mathfrak{C}\models \forall x\, (\psi(x,m)\rightarrow \bigvee_{i=1}^n \varphi_i(x,c_i))$ y cada una de las $\varphi_i(x,c_i)$ divide $A$. Podemos muy bien suponer la $c_i$ son todos de la misma finito tupla $c$ (añadiendo sin mencionar los parámetros para cada una de las $\varphi_i$). Desde $M$ $|A|^+$saturada, podemos encontrar $c'\in M$ tal que $\text{tp}(c'/Am) = \text{tp}(c/Am)$. Ahora:
- $\text{tp}(c'/m) = \text{tp}(c/m)$ implica que el $\mathfrak{C}\models \forall x\, (\psi(x,m)\rightarrow \bigvee_{i=1}^n \varphi_i(x,c'))$.
- $\text{tp}(c'/A) = \text{tp}(c/A)$ implica que cada una de las $\varphi_i(x,c')$ divide $A$.
Y puesto que los parámetros $c'$ están en $M$, $p(x)$ divide $A$ por la Observación. $\square$
Ahora desde $\mathfrak{C}$ sí es $|A|^+$ saturada por cualquier pequeño $A$, se puede aplicar el Reclamo con $M = \mathfrak{C}$ para llegar a la conclusión de que un tipo global tenedores sobre un pequeño conjunto si y sólo si se divide a través de ese conjunto. Pero si hacemos el estándar de la suposición de que todos los objetos que podremos considerar que ya están en $\mathfrak{C}$, entonces esta es una observación trivial, por la Observación (simplemente no existen parámetros fuera de $\mathfrak{C}$). Por supuesto, el hecho de que podemos hacer de este supuesto estándar se reduce a la prueba de la demanda: el comportamiento de los parámetros adicionales que podríamos desee ya puede ser realizado dentro de $\mathfrak{C}$.
Como he mencionado en los comentarios, hay situaciones en las que es conveniente (pero no es estrictamente necesario) a en lugar de imaginar que hay toda una jerarquía de monstruo modelos, por lo que le puede pasar a uno más grande, si queremos. Esto es igual que cómo se puede ser foundationally conveniente asumir una clase adecuada inaccesibles de los cardenales en lugar de sólo asumiendo una o de trabajo en NBG.
