Lista de conectados Mentira subgrupos de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$.

Question

Yo no estoy familiarizado con la teoría de la Mentira de los grupos, estoy teniendo un tiempo difícil encontrar todos los conectados cerrado real Mentira subgrupos de $\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$ hasta conjugación.

Uno puede encontrar el verdadero y complejo parabólicas, elípticas, hiperbólicas subgrupos, $\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SU}(1,1)$ y $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ (los dos últimos son isomorfos a pesar de que), en el subgrupo de real triangular superior matrices,en el subgrupo de triangular superior matrices con unitaria de la diagonal de coeficientes en el subgrupo de complejos matrices triangulares.

¿Hay alguna otra ?

Answer 1

Voy a empezar con la estrategia general y la mostrará cómo utilizar en el caso de $SL(2,C)$. Deje $G$ ser conectado Mentira subgrupo de otra Mentira de grupo $H$; en su caso, $H$ es un complejo de Lie del grupo, lo que ayuda. Mirar por primera vez la de Levi-Malcev descomposición de la Mentira álgebra $G$ y preguntar si la solución radical es trivial. Si es así, entonces su exponencial es normal solucionable Mentira subgrupo $S$ $H$ y, por lo tanto, tiene un fijo para cualquier acción en un número finito de dimensiones complejas proyectiva del espacio. El conjunto de vectores fijos serán invariantes bajo $G$.

En su configuración, $H$ y, por lo tanto, $H$, está actuando en $CP^1$, por lo tanto, si $S<G$ es no trivial, entonces $S$ corrige un punto en $CP^1$. Dimensión de la de punto fijo tiene que ser cero (de lo contrario $S$ actos trivialmente en $CP^1$ lo cual es imposible) y trivialmente a la conclusión de que es ya sea de uno o dos puntos. Desde $G$ está conectado, ambos puntos deben ser fijados por $G$. Por lo tanto, hasta conjugación, $G$ está contenida en el grupo $B$ superior triangular de matrices, un Borel subgrupo de $SL(2,C)$ que es solucionable (en particular, $G=S$). Ahora, usted tiene que clasificar conectado subgrupos $G$$B$. Esto no es demasiado difícil, ya que usted tiene que preguntarse ¿cómo se intersecan con el colector subgrupo $U$ (que consta de unipotentes elementos) de $B$. Si la intersección es trivial y, a continuación, $G$ (hasta conjugación) incrusta en la diagonal subgrupo isomorfo a $C^\times$ y, por lo tanto, $G$ es ${\mathbb C}^\times$ o ${\mathbb R}_+$. Si la intersección con la a $U$ es trivial, luego de llegar a la conclusión de que es ya sea real 1-dimensional o complejo 1-dimensional. A continuación, puede ver que $G$ es uno de los siguientes subgrupos sentado de forma natural en $B$:

1. ${\mathbb R}$ o ${\mathbb C}$ (contenido en $U$).

2. ${\mathbb R}\rtimes {\mathbb R}_+$.

3. ${\mathbb C}\rtimes {\mathbb R}_+$.

4. ${\mathbb C}\rtimes {\mathbb S}^1$.

5. Todo el grupo $B$.

Ahora, vamos a considerar el caso más interesante, al $G$ ha semisimple Mentira álgebra. Lo que hay que hacer es buscar la máxima semisimple subalgebras. En general, no es una obra clásica por Dynkin a partir de la década de 1950 donde se clasifican máxima semisimple Mentira subalgebras (y subgrupos) de Lie semisimple grupos.

En su caso, todo lo que de nuevo puede ser hecho a mano. Primero de todo, $G$ tiene que tener (real) rango de $\le 1$ (desde $SL(2, C)$ tiene rango 1) y, por lo tanto, ha de ser simple (en el sentido de que su Mentira álgebra es simple); por otra parte, la dimensión real de $G$ es en la mayoría de los 6. Si usted piensa en términos de clasificación de simple álgebras de Lie, esto le deja con sólo dos opciones: $su(2)$, $sl(2,R)$ y $sl(2,C)$. Ahora, en el $su(2)$ de los casos, el grupo de $G$ tiene que ser compacta (desde su Mentira álgebra es "compacto"); por lo tanto, del teorema de Cartan, se está contenida (hasta conjugación) en la máxima compacto subgrupo $SU(2)< SL(2,C)$. Si la Mentira álgebra es$sl(2,C)$, la correspondiente Mentira grupos es el de toda la $SL(2,C)$. Por último, en el caso de $sl(2,R)$, con un poco más de trabajo ver que $G$ es conjugado a el conjunto de puntos reales $SL(2,R)< SL(2,C)$. (Compruebe primero esta en el nivel de álgebras de Lie.)

Answer 2

Deje $G$ ser una Mentira de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$. Hay un bijective correspondencia entre los conectados cerrado subgrupos $H$ $G$ y la Mentira subalgebras $\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}$. La correspondencia que asocia a $H$ su Mentira álgebra, y a $\mathfrak{h}$ el cierre de la imagen $\mathfrak{h}$ bajo la exponencial mapa. Así, el ejercicio es clasificar todos (real) se encuentran sublagebras de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$. Creo que usted podría encontrar que este problema sea más manejable.