Grupo de Brauer de la extensión cíclica de los racionales

Question

Estoy intentando calcular el grupo de Brauer relativo de la extensión cíclica de Galois $L=\mathbb Q[x]/(x^3-3x+1)$ de $\mathbb Q$ . Sé que $$ \mathrm{Br}(L/\mathbb Q)\cong H^2(G,L^*)\cong\mathbb Q^*/N(L^*) $$ donde $G=\langle\sigma\rangle$ es el grupo de Galois y $N$ la norma de campo, $N(l)=l\cdot\sigma(l)\cdot\sigma^2(l)$ .

Según el libro de Michael Artin Álgebra las raíces del polinomio son $\eta_1=\zeta+\zeta^8$ , $\eta_2=\eta_1^2-2=\zeta^2+\zeta^7$ y $\eta_3=-\eta_1-\eta_2=\zeta^4+\zeta^5$ donde $\zeta=\exp(2\pi i/9)$ .

Escribir un elemento arbitrario $l\in L$ como $a+b\eta_1+c\eta_2$ con $a,b,c\in\mathbb Q$ He calculado que $$ N(l)=a^3-b^3-c^3-3ab^2-3ac^2+3abc+6b^2c+6bc^2. $$ ¿Pueden ayudarme a calcular el cociente $\mathbb Q^*/N(L^*)$ ?

Sé que $\mathbb Q^*\cong\{\pm1\}\times\prod_p\mathbb Z$ pero tengo problemas para determinar la imagen de $N$ debido a las operaciones aditivas que aparecen en la expresión explícita anterior.

Answer 1

Estoy de acuerdo con el Capitán Lama, sería difícil determinar el grupo Brauer relativo $Br(L/\mathbf Q)$ sólo por el cálculo de la norma. Aquí esbozo un enfoque teórico.

Por definición, $Br(L/\mathbf Q)$ es el núcleo del mapa natural $Br(\mathbf Q) \to Br(L)$ (que es el mapa de restricción, cohomológicamente hablando). Para cualquier campo numérico $K$ se sabe por CFT cohomológica que $Br(K)$ puede identificarse canónicamente con el núcleo del mapa "suma de coordenadas" dentro de la suma directa de todos los grupos locales de Brauer $Br(K_v)$ , $v$ recorriendo todos los primos de $K$ .

De este modo, volvemos a la determinación de estos $Br(K_v)$ y su comportamiento fuctorial con respecto al mapa de restricción. Pero las respuestas son conocidas por la CFT local : para un $v$ , $Br(K_v) \cong \mathbf Q/ \mathbf Z$ y en una extensión $L_w/K_v$ de grado $n_v$ La restricción $Br(K_v) \to Br(L_w)$ corresponde a la multiplicación por $n_v$ en $\mathbf Q/\mathbf Z$ . Véase, por ejemplo, "Local Fields" de Serre, capítulos 10 y 13. Así, $Br(L_w/K_v) \cong \mathbf Z/n_v$ .

Volviendo a su problema, sólo queda calcular los grados de las extensiones locales $L_w/\mathbf Q_p$ asociado al polinomio $X^3 - 3X + 1 $ . Obsérvese que el método sigue funcionando cuando se sustituye $\mathbf Q$ por cualquier $K$ .