Algún punto en una línea de $Ax+By+C=0$

Question

Dada una línea en un espacio 2D, definido por la ecuación de $Ax+By+C=0$, es posible encontrar un punto de ella, sin asumir que a o B son diferentes de 0 ?

Que es, generalmente, el método para encontrar algún punto es "asumir la $A \ne 0$, si corregimos $y=0$ la solución de la ecuación que da ese punto de $(-C/A,0)$ es un punto de la línea, de lo contrario, $B \ne 0$ y el ...·

Pero es posible que cualquier otro método, sin dividir el problema en dos ?

En otras palabras, es posible encontrar una expresión para algún punto (cualquiera) de la línea que no contiene una división por a, B o C, o por cualquier otro término que puede ser cero en algunos casos ?

La pregunta podría ser expresado de otro modo: dada una línea de $Ax+By+C=0$, dar una expresión de la misma línea en el vector/paramétrico de forma que es válida para cualquier valor de a, B, C.

El vector de dirección es fácil de encontrar, (-B,A), el resto de destino es encontrar la expresión de un cierto punto.

Answer 1

Considerar la línea adicional $Bx-Ay=0$. El sistema lineal \begin{cases} Ax+By=-C\\[4px] Bx-Ay=0 \end{casos} tiene solución $$x=-\frac{AC}{A^2+B^2} \qquad y=-\frac{BC}{A^2+B^2}$$

Comentarios

La línea adicional es la perpendicular que pasa por el origen y la hemos encontrado en la intersección de las dos líneas. Si $C=0$, que, por supuesto, conseguir $(0,0)$, pero ninguna suposición sobre la $C$ es realmente necesario.

Desde cualquiera de las $A$ o $B$ es distinto de cero, tenemos $A^2+B^2\ne0$, por lo que la división no plantea problemas.

Un ejemplo gráfico con $A=3$, $B=2$, $C=5$ que muestra que estamos esencialmente en encontrar el punto de tener la mínima distancia desde el origen.

Si en lugar de considerar como línea adicional $Bx-Ay=t$, para una variable $t$, la solución es $$x=-\frac{AC-Bt}{A^2+B^2} \qquad y=-\frac{BC+A}{A^2+B^2}$$ y, como $t$ varía, consigue todos los puntos de la recta dada.

Answer 2

¿ $$( -\frac{AC}{A^2 + B^2}, - \frac{BC}{A^2 + B^2})$$

Answer 3

Para $C=0$, se puede elegir

• $x=-B$
• $y=A$

Para$C\neq0$$A=1$, se puede elegir

• $x=-C-By$

Para$C\neq0$$B=1$, se puede elegir

• $y=-C-Ax$

Para$C\neq0$$C=kA$, se puede elegir

• $x=-B-k$
• $y=A$

Para$C\neq0$$C=kB$, se puede elegir

• $x=-B$
• $y=A-k$

de lo contrario, necesitamos siempre de la división.

Answer 4

Esta es una pregunta interesante. Creo que la respuesta es "no".

Si $C = 0$, entonces el punto de $$\left( \frac{AB^2}{A^2+B^2}, \frac{-A^2 B}{A^2+B^2} \right)$$ va a hacer, pero si $A=0$ $C \ne 0$ $y$ debe $-C/B$. Usted tiene que dividir por $B$. Cualquier fórmula general que propone para lidiar con el problema general tendrá un $B$ en el denominador.

Edit. Como @gimusi señala, $(B, -A)$ funciona al $C=0$. Mi solución fue torpe.

Edit. Mi "creo que sí" está mal. Otras respuestas son mejores. Al menos para mi uso de $A^2 + B^2$ estaba en el camino correcto. Es el determinante de la matriz en @egreg 's solución.