El significado de este ejercicio en grupo de teoría

Question

Esta pregunta es de Dummit y Foote:

Deje $R$ ser el conjunto de todos los polinomios con coeficientes enteros en las variables independientes $x_1, x_2, x_3, x_4$, es decir, los miembros de $R$ son finitos sumas de los elementos de la forma $ax_1^{r_1}x_2^{r_2}x_3^{r_3}x_4^{r_4}$, donde $a$ es cualquier entero y $r_1,.. .,r_4$ no son números enteros negativos. Cada una de las $\sigma\in S_4$ da una permutación de $\{x_1,..., x_4\}$ mediante la definición de $\sigma\cdot x_i=x_{\sigma(i)}$. Esto puede ser extendido a un mapa de $R$ $R$definiendo $\sigma\cdot p(x_1,\dots,x_4)=p(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(4)})$ todos los $p(x_1,\dots,x_4)\in R$.
Se muestran todas las permutaciones en $S_4$ que estabilizan el elemento $x_1+x_2$.

No entiendo qué hace la última línea media. (Yo no sé qué 'estabilizar' significa en el contexto de "acción".)

Answer 1

Tiene una acción natural de la $S_{4}$$R = \mathbb{Z}[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]$, donde sus permutaciones permutar las indeterminates de su polinomio anillo. Algunos polinomios será fija y estabilizada por ciertas permutaciones de las variables, es decir, un polinomio $p$ y una permutación $\varphi$ satisfacer $\varphi(p) = p$. Se solicita a encontrar las permutaciones $\varphi \in S_{4}$ tal que $\varphi(x_{1}+x_{2}) = x_{1}+x_{2}$.

Answer 2

Buscas $\sigma\in S_4$ tal que $\sigma.(x_1+x_2)=x_1+x_2$. Por ejemplo, esto es al $\sigma=(12)$ desde $(12).(x_1+x_2)=x_2+x_1=x_1+x_2$.

Answer 3

"$\sigma$ estabiliza $x_1+x_2$" significa que $\sigma\cdot (x_1+x_2)=x_1+x_2$.

Answer 4

El orden del estabilizador es conocido por ser el fin de que el grupo dividido por el orden de la órbita. El orden de la órbita de $x_1+x_2$$6$, como se puede ir a cualquier $x_i+x_j$ $i\not = j$ (sino $x_i+x_j=x_j+x_i$)...

Por lo tanto el estabilizador tiene orden de $4$.

Tenemos que es igual a $\{(12),(34),(12)(34),e\}$.