No $2^x \sin\frac{180}{2^x}$ enfoque de $\pi$ $x$ se hace grande?

Question

Tome un círculo con diámetro de $1$. Obviamente, su circunferencia es de $\pi$.

Dibujar un cuadrado en el interior de este círculo (mayor). Dado que el diámetro del círculo es 1, se puede calcular que cada lado de la plaza iba a ser $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Su perímetro, por lo tanto, es $2\sqrt{2}$.

Imagine un triángulo se dibuja sobre cada lado de la plaza, así como para crear un octágono regular. Utilizando la ley de los senos, podemos averiguar la medida de cada lado del octógono. La base de cada triángulo sería $\frac{1}{\sqrt{2}}$, y el ángulo opuesto a ella $135^o$. Cada uno de los otros ángulos serían $\frac{180-135}{2} = 22.5^o$. Así,

$$ \frac{1}{\sin135(\sqrt2)} = \frac{x}{\sin22.5} $$ $$ 1 = \frac{x}{\sin22.5} $$ $$ x=\sin22.5 $$

Por lo tanto, el perímetro de este octógono es $8\sin22.5$.

Podemos continuar el dibujo de triángulos en este octógono, y más triángulos en que, y así sucesivamente. Una vez que el número de lados alcanza el infinito (que, por supuesto, no es posible en el mundo físico), el perímetro de dicha cifra sería de $\pi$.

Estoy tratando de escribir una función similar a $f(x)$ tal que $$ \lim_{x \to 0}f(x) = \pi $$

Tenga en cuenta que $f(x)$ es una función de los niveles. El nivel 1 es para los 4 lados, el nivel 2 es de 8 lados, entonces de 16 lados, 32 lados y así sucesivamente.

En la medida que: $$f(1) = 2\sqrt2 = 4 \sin 45$$ $$f(2) = 8 \sin22.5$$ $$...$$

Yo trabajo que

$$f(x) = 2^x \sin\frac{180}{2^x}$$

Al graficar esa función:

Debido a esto, no parece límite en el gráfico. Decir, si se limita a $\pi$, sería aproximado de $\pi$ para un gran relativamente $x$?

Por favor nota. Puede haber un montón de errores aquí. Yo no soy el estudio de las matemáticas en el nivel universitario y es una persona descuidada.

Answer 1

Esta es la misma gráfica ampliada, se puede ver que la gráfica tiene un punto límite en algún lugar por debajo de 200(180) ahora, ¿por qué no es $\pi$? Es debido a que algunas calculadoras usar radianes si usted ha usado $2^x\sin(\pi/2^x)$,se habría conseguido un gráfico similar que llegaban a $\pi$ en lugar de a $180$

Answer 2

Intente con

$$f(x) = 2^x \sin\frac{\pi}{2^x} =\pi\frac{\sin\frac{\pi}{2^x} }{\frac{\pi}{2^x} }\to \pi$$

Answer 3

El límite debe ser $180$ si usted está tomando el seno en radianes. Sí, debe de ser $\pi$ si usted está tomando la condición sine en grados. Usted debe ser gráfica para grandes valores de $x$ incluso $\frac {180}{2^8} \gt \frac 12$ no es tan pequeño. Abajo es un dibujo de Alfa que se muestra agradable convergencia a $180$ usando radianes

Answer 4

Tienes toda la razón, no parece haber un límite en el gráfico. Pero eso es en parte debido a que la gráfica no realmente ver lo que está sucediendo para grandes valores de $x$. Se detiene en torno a $x=8$, que resulta ser demasiado pequeñas.

El principal problema aquí, sin embargo, es que estás mezclando radianes y grados. Algunas calculadoras gráficas puede ser instruido para calcular $\sin\theta$ $\theta$ entró en grados, pero la mayoría utilizan radianes como su configuración predeterminada. Así que cuando usted calcular algo como $2^6\sin(180/2^6)=64\sin(2.8125)$, la calculadora devuelve $\sin(2.8125)\approx0.323$ en lugar de $\sin(2.8125^\circ)\approx0.049$, por lo que obtener un punto en la altura de alrededor de $20.7$ en lugar de alrededor de $3.14$.

Como otros han comentado, si quieres continuar tu gráfica para los verdaderamente grandes valores de $x$, usted podría encontrar que converge a no $\pi$ sino $180$. Puede que le resulte instructivo para hacerlo, para ver exactamente cuando la limitación de comportamiento se vuelve claro. (Ah, veo Ross Millikan y kingW3 han hecho esto, y dada esencialmente la misma respuesta, mientras yo estaba en la composición de este. Me estaba refiriendo a "los otros" en la parte superior de este párrafo).