# Resuelva el sistema de ecuaciones resultante.

Question

Resolver el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{align*}x_1^2&=x_2+x_3\\x_2^2&=x_3+x_4\\&\ \ \vdots\\x_n^2&=x_1+x_2\end{align*}\right.$$ donde $x_i \in \mathbb R$.

He resuelto el caso en que $\forall x_i>0$. En este caso,$x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 2$.(Deje $a=\max {x_k}$ $a^2\le2a$ y deje $b=\min {x_k}$$b^2\ge2b$. A continuación,$a=b=2$)

Y $(0;0;...;0)$ otra solución.

Pero si $x_i \in \mathbb R$ necesito ayuda.

Answer 1

Algunas observaciones:

$\textbf{Observation 1:}$ Si $x:=(x_1,...,x_n)$ es una solución para el sistema, a continuación, $$x\in\mathbb{S}(a,\sqrt{n}):=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x-a\|=\sqrt{n}\}$$ where $un:=(1,1,...,1)$ and $\|\cdot\|$ es lo habitual en la norma Euclídea. Desde el sistema, la adición de ambos lados uno se $$x^2_1+ \cdots +x^2_n=2(x_1+\cdots+x_n)\Rightarrow (x_1-1)^2+\cdots+(x_n-1)^2=n$$ de ahí el reclamo.

$\textbf{Observation 2:}$ Podemos escribir el sistema como $$A(x)x=Bx$$ donde $A(x)$ es una matriz diagonal con entradas de $a_{ii}=x_i$ $i=1,\dots,n$ $B$ es una matriz cuyas entradas son $0$ $1$ en un orden específico (que se puede obtener a partir de sus ecuaciones en el lado derecho). Por lo tanto $$(A(x)-B)x=0$$ es una ecuación por cada $x$. Claramente $x=0$ es una solución trivial. Si $x\neq 0$, entonces esto implica que $\det(A(x)-B)=0$. Por ejemplo, en el caso de $n=2$ este determinante ecuación da $$x_1x_2=x_1+x_2$$ lo que combinado con las ecuaciones originales $x^2_1=x^2_2=x_1+x_2$ los rendimientos de la solución no trivial $x_1=x_2=2$. Usted puede ir para los valores más altos de $n$ a pesar de que la informática se convierte en el determinante más laborioso.

Answer 2

Definir $x_{k + n} = x_k$ cualquier $k \in \mathbb{N}_+$ y $m = \min\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} x_k$, $M = \max\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} x_k$. Ya que para algunos $k$, $$M^2 = x_k + x_{k + 1} \leqslant 2M,$$ a continuación,$M \leqslant 2$. Para algunos otros $k$, $$m^2 = x_k + x_{k + 1} \leqslant 2M \leqslant 4,$$ a continuación,$m \geqslant -2$.

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Ahora se demostró que $m \geqslant 0$. Supongamos $m < 0$, sin pérdida de generalidad, supongamos que $x_2 = m$. Tenga en cuenta que $$-2 \leqslant m < 0 \Longrightarrow (m + 2)m \leqslant 0\\\Longrightarrow m < m^2 + m \leqslant -m \Longrightarrow |m^2 + m| \leqslant |m| = -m.$$ Esto será demostrado por inducción que $$x_{2k} \leqslant m^2 + m \leqslant -m,\ x_{2k + 1} \geqslant -m > 0. \quad \forall k \geqslant 1 \etiqueta{1}$$ Para $k = 1$, $x_2 = m \leqslant m^2 + m \leqslant -m$ y $x_3 = x_1^2 - x_2 \geqslant -x_2 = -m$. Supongamos que (1) tiene por $k$. Debido a $|x_{2k}| \leqslant |m|$$x_{2k + 1} \geqslant -m > 0$, $$x_{2k + 2} = x_{2k}^2 - x_{2k + 1} \leqslant m^2 - (-m) = m^2 + m \leqslant -m,\\ x_{2k + 3} = x_{2k + 1}^2 - x_{2k + 2} \geqslant m^2 - (m^2 + m) = -m.$$ Final de la inducción.

Si $n$ es impar, supongamos $n = 2l + 1$, $$0 > -m = x_2 = x_{2l + 3} \geqslant -m > 0,$$ una contradicción. Si $n$ es aún, supongamos $n = 2l$, $$x_1 = x_{2l + 1} \geqslant -m > 0 \Longrightarrow x_3 = x_1^2 - x_2 = x_1^2 - m \geqslant m^2 - m,\\ x_4 = x_2^2 - x_3 = m^2 - x_3 \leqslant m^2 - (m^2 - m) = m.$$ Tenga en cuenta que $x_4 \geqslant m$, con lo que, de hecho, $x_4 = m$, lo que implica que todas las desigualdades que han aparecido en esta parte hasta ahora, es decir, de (1) a $x_4 \leqslant m$, también son igualdades. Particularmente, $$m^2 - m = x_3 = -m \Longrightarrow m = 0,$$ una contradicción. Por lo tanto, $m \geqslant 0$.

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Ahora, debido a $0 \leqslant x_k \leqslant 2$ por cada $k$, $$\sum_{k = 1}^n (x_k - 1)^2 \leqslant \sum_{k = 1}^n 1 = n.$$ Sin embargo, esta desigualdad es, de hecho, una igualdad tal y como es señalado por @Adrian, lo que implica $x_k = 0$ o $2$ por cada $k$. Si no existe $k_0$ tal que $x_{k_0} = 0$, $x_{k_0 + 1} + x_{k_0 + 2} = 0$ implica $x_{k_0 + 1} = x_{k_0 + 2} = 0$, y por inducción, todos los $x_k$ es igual a $0$. Si no existe $k_0$ tal que $x_{k_0} = 2$, de manera análoga deducción muestra que todos los $x_k$ es igual a $2$.

Por lo tanto, todas las soluciones se $(0, \cdots, 0)$$(2, \cdots, 2)$.

Answer 3

Podemos eliminar $x_3=x_1^2-x_2$, $x_4=x_2^2-x_3,\ldots ,x_{n}=x_{n-2}^2-x_{n-1}$. Entonces, nos quedamos con sólo dos ecuaciones en las variables$x_1$$x_2$. Teniendo como resultado obtenemos un polinomio en una variable. Por ejemplo, para $n=5$ obtenemos una ecuación de segundo grado en $x_1$, es decir, $$x_1^2(2x_2^2+1)+x_1-x_2(x_2^3 + 2x_2^2 + x_2 + 1)=0,$$ que podemos resolver, y luego se sustituye en la otra ecuación. En este caso la resultante de las dos soluciones reales. Tan solo obtenemos $(x_1,x_2)=(0,0),(2,2)$. Supongo que uno puede demostrar que este en general. Sin embargo, podemos obtener una curva de $f(x,y)=0$, que es difícil de resolver algebraicamente.

Answer 4

Este es un ejemplo de no-lineal de la diferencia de la ecuación, debido a que el término cuadrático en $x_i^2$

Estos son más difíciles de resolver analíticamente lineal de ecuaciones de diferencia. Generalmente son examinados a través de métodos numéricos.

Ver http://de2de.synechism.org/c1/sec15.pdf - página 2 para un ejemplo similar.