espacio vectorial

Question

Tengo una pregunta acerca de un ejemplo en el Álgebra Lineal.

Deje $\mathbb R^∞$ ser el vector del espacio de secuencias infinitas $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots )$ de los números reales.

La multiplicación escalar se definen en forma natural: la suma de $(\alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3 , \ldots )$ $(\beta_1,\beta_2,\beta_3,...)$ $(\alpha_1 +\beta_1, \alpha_2 + \beta_2, \alpha_3 + \beta_3,...)$ el producto de $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\ldots)$ por un escalar $\lambda$ es la secuencia de las $(\lambda \alpha_1, \lambda\alpha_2, \lambda\alpha_3, \ldots )$.

Existe una infinita lineal independiente conjunto de vectores $(e_1, e_2, e_3, \ldots)$ $$\begin{align} e_1 &= (1, 0, 0, \ldots)\\ e_2 &= (0, 1, 0, \ldots)\\ \ldots \end{align}$$

El problema es que este conjunto (vamos a llamarlo $X$) no es una base de este espacio vectorial. Porque, por ejemplo, $v = (1, 1, 1, \ldots)$ no puede ser escrito como una combinación lineal del conjunto de $X$ (combinación Lineal debe ser una suma finita).

Mi tarea es agregar "algunos vectores" para el conjunto de $X$ crear una base de dicho espacio vectorial. Si añado $v$ no ($\langle X, v\rangle \ne\mathbb R^∞$)

¿Hay alguna prueba de que el proceso de adición de vectores para conjunto de $X$ no es finito? O es posible crear una base con la adición de los vectores de a $X$?

Gracias por las respuestas

Answer 1

Lo que he notado la diferencia entre el $\prod^\infty R$ (el espacio vectorial de todas las secuencias de elementos en $R$) y $\bigoplus^\infty R$ (el espacio vectorial de las secuencias que son sólo finitely a menudo distinto de cero). El último tiene una base de cardinalidad $\aleph_0$ (la base de que escribir en tu pregunta), el primero tiene una base de cardinalidad $2^{\aleph_0}$, y algunos principio de elección debe ser invocada para justificar la existencia de esta base (e incluso existen modelos de la teoría de conjuntos, donde este espacio seguramente no tiene una base). En particular, sí, usted no puede obtener una base para $\prod^\infty R$ mediante la adición de un número finito de bases elementos para el estándar de base para $\bigoplus^\infty R$, ya que se ha estrictamente mayor cardinalidad.

¿Cómo podemos describir una base de Hamel para $\prod^\infty R$? No podemos, no con el conjunto estándar de teoría de construcciones. Ya que es consistente con la teoría de conjuntos ZF que no se base existen, no se ZF construcciones (como tuplas, powerset, conjunto generador) le permitirá escribir esta base.

¿Cómo podemos demostrar que esa base existe, entonces, usando el axioma de elección o el lema de Zorn? Bien linealmente independientes conjuntos están ordenados por inclusión. Cada cadena de estos conjuntos tiene un máximo (tomar de la unión). Por lo tanto, por el lema de Zorn hay una máxima linealmente independientes conjunto, también conocido como una base. O ver esta respuesta por Michael Hardy.

Answer 2

Tomar todos los no-cero secuencias, y de imponer un orden en ellos (lo cual es posible asumiendo el Axioma de Elección). Si usted quiere tener el parcial, se identifica como parte de la final de la base, las providencias necesarias para que el bien de pedidos comienza con parciales de base.

Ahora tome el conjunto de los vectores que no puede ser escrito como una combinación lineal de los vectores de la anterior en que el bien de la orden. Los vectores forman una base del espacio vectorial.

Independencia lineal del conjunto es bastante obvio a partir de la construcción, y que se extiende por completo espacio vectorial es visto por el hecho de que cualquier no-vector cero que no es una combinación lineal de los vectores en ese conjunto, en particular, no es una combinación lineal de las que la preceden en el total de la orden; pero, a continuación, por la construcción debe ser en conjunto.