Integral gaussiana con integración simple

Question

Así que la integral gaussiana básicamente establece que:

$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ dx =\sqrt{\pi}$$

Así que la forma de resolverlo es convirtiendo a coordenadas polares y haciendo una doble integración.

Como no he aprendido integración doble, he buscado mucho para resolver este tipo de integral usando integración simple. Pero sin éxito. Incluso lo he intentado yo mismo un par de veces pero no he tenido éxito.

Así que esta es mi pregunta, ¿es posible integrar lo anterior usando sólo una integración y si es así cómo? Si no es posible integrar usando una sola integración entonces cuál es la razón detrás de esto.

Answer 1

Una idea famosa es aproximar la integral $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx$ con $\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2/n)^n}$ y $\int_{0}^{\sqrt{n}}(1-s^2/n)^n\,ds$ con $n\in\mathbb{N}$ que tiende a $+\infty$ . Estas integrales son elementales: se pueden calcular mediante las sustituciones $t=\sqrt{n}\tan\theta$ , $s=\sqrt{n}\sin\varphi$ y la integración repetida por partes.

El resultado es el doble límite $$ L(n)=\frac{\sqrt{n}4^n}{\binom{2n}{n}(2n+1)}\leq \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx \leq \frac{\pi n \sqrt{n}\binom{2n}{n}}{(2n-1) 4^n}=R(n)\tag{1}$$ para cualquier $n\geq 1$ . La declaración $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{R(n)}{L(n)}=1\tag{2} $$ equivale a El producto de Wallis y la declaración $$ \lim_{n\to +\infty} R(n)L(n)=\frac{\pi}{4}\tag{3} $$ es trivial. Al apretar se deduce que $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ y $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ .

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A decir verdad, esto también es un poco un fraude. En realidad no estamos evitando el $\Gamma$ sólo nos basamos en las fórmulas de reflexión/duplicación para $\Gamma$ sin hacer una mención explícita a $\Gamma$ . El propio producto de Wallis es un ejemplo de $\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin(\pi s)}$ .

Por otro lado, por qué evitar el $\Gamma$ función ? Por lo menos, juega un papel importante en muchas distribuciones de probabilidad relevantes, y como le gusta decir a uno de mis mentores (C.Viola), " un buen matemático o fisioterapeuta no debe tener miedo de manipular el $\Gamma$ o la función seno, también porque no son tan diferentes. Cuanto antes se introduzca uno en $\Gamma$ cuanto más mejor ".

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Un enfoque (¡muy!) abreviado consiste en observar que $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ es el valor que buscamos y $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2$ es el área del círculo unitario .

Answer 2

Aquí hay una prueba usando el función gamma .

La función $$e^{-x^2}=e^{-(-x)^2}$$ es par, por lo que $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=2\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$$ Dejemos que $t=x^2\implies\dfrac{dx}{dt}=\dfrac12t^{-1/2}$ . Por lo tanto, $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=2\int_0^\infty e^{-t}\cdot\frac12t^{-1/2}\,dt=\int_0^\infty e^{-t}t^{-1/2}\,dt=\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi$$