$1$ como diferencia de los compuestos con el mismo número de factores primos y más pequeños ejemplos

Question

Es probablemente abra podemos para cada $k \in \mathbb N$ encontrar dos composites $a_k$ $b_k$ tal que $a_k$ $b_k$ tienen exactamente $k$ factores primos y $a_k-b_k=1$.

Más pequeño de los ejemplos encontrados hasta el momento son:

para $k=1$ $$3^2-2^3=1$$ for $k=2$ $$3 \cdot 5 - 7 \cdot 2=1$$ for $k=3$ $$3\cdot7\cdot11-2\cdot5\cdot23=1$$ for $k=4$ $$5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 - 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 53=1$$ for $k=5$ $$3\cdot7\cdot17\cdot23\cdot31-2^2\cdot5\cdot11\cdot13\cdot89=1$$

Es fácil ver que $3$ es un factor de uno de los números que están más pequeño de los pares para$k=1,2,3,4,5$, por lo que voy a hacer una muy tonto conjetura que podría ser descartada con un ingenioso equipo, consulte:

Si en un par $(a_k,b_k)$ es el más pequeño de los pares, a continuación, $3$ es un factor de uno de esos dos números.

Hasta que $k$ es esto cierto?

Estoy dispuesto a dejar que esto siempre sea verdadero, porque el más pequeño de pares debe tienden a tener pequeños primos como factores de ellas y porque no hay una buena probabilidad de que uno de los miembros es divisible por $3$, ya que difieren sólo por uno.

No estoy seguro de que me gustaría ver un contraejemplo, pero ir a por ello.

Esto es cierto al menos para $k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$ por esta lista .

Answer 1

Voy a escribir en la actualidad el más pequeño conocido para mí pares de $(a_k,b_k)$ para $k=12,...,18$ (hasta el momento).
Esperamos que ayude a optimizar la búsqueda de los más pequeños ejemplos.

(subrayado partes de $a_k$, $b_k$ el primer factorizations están construidos de los primeros números primos)

$k= 12$:
$a_k = 12\:633\:565\:576\:364\:596\:150$;
$\log_2(a_k)\approx 63.4539$;
$a_k = \underline{2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 29} \cdot 41 \cdot 47 \cdot 79 \cdot 97 \cdot 107 \cdot 149 \cdot 311$;
$b_k = \underline{3 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 23} \cdot 43 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 71 \cdot 89 \cdot 137 \cdot 503$;

$ $

$k=13$:
$a_k = 3\:647\:574\:107\:485\:641\:950\:331$;
$\log_2(a_k) \approx 71.6274$;
$a_k = \underline{3 \cdot 11 \cdot 13} \cdot 29 \cdot 31 \cdot 43 \cdot 47 \cdot 71 \cdot 73 \cdot 79 \cdot 89 \cdot 281 \cdot 457$;
$b_k = \underline{2 \cdot 5 \cdot 7} \cdot 19 \cdot 23 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 101 \cdot 331 \cdot 829 \cdot 907$;

$ $

$k=14$:
$a_k = 561\:562\:786\:476\:519\:254\:711\:571$;
$\log_2(a_k) \approx 78.8938$;
$a_k = \underline{3 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 23} \cdot 37 \cdot 41 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 89 \cdot 101 \cdot 137 \cdot 281 \cdot 683$;
$b_k = \underline{2 \cdot 5 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 29} \cdot 43 \cdot 47 \cdot 83 \cdot 97 \cdot 173 \cdot 193 \cdot 239 \cdot 499$;

más pares de mirar no como candidatos a ser 'el más pequeño'; están escritos tal y como actual límite superior:

$k=15$:
$a_k = 220\:070\:560\:154\:507\:695\:624\:193\:566$;
$\log_2(a_k) \approx 87.5081$;
$a_k = \underline{2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 53} \cdot 71 \cdot 103 \cdot 167 \cdot 223 \cdot 743 \cdot 1759$;
$b_k = \underline{3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 43 \cdot 59} \cdot 67 \cdot 73 \cdot 79 \cdot 131 \cdot 181 \cdot 233 \cdot 33151$;

$ $

$k=16$:
$a_k = 235\:854\:523\:128\:402\:464\:320\:861\:485\:946$;
$\log_2(a_k) \approx 97.5738$;
$a_k = \underline{2 \cdot 7 \cdot 17} \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 \cdot 59 \cdot 67 \cdot 79 \cdot 89 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 251 \cdot 383 \cdot 587 \cdot 733$;
$b_k = \underline{3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29} \cdot 37 \cdot 53 \cdot 71 \cdot 83 \cdot 97 \cdot 271 \cdot 653 \cdot 3259 \cdot 13421$.

$ $

$k=17$:
$a_k = 106\:363\:233\:370\:134\:596\:597\:379\:753\:266\:866$;
$\log_2(a_k) \approx 106.391$;
$a_k = \underline{2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 \cdot 71 \cdot 79 \cdot 83 \cdot 89} \cdot 127 \cdot 137 \cdot 241 \cdot 3821 \cdot 12829$;
$b_k = \underline{3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 37 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67 \cdot 73} \cdot 281 \cdot 521 \cdot 823 \cdot 1877 \cdot 3413$.

$ $

$k=18$:
$a_k = 252\:354\:002\:029\:824\:454\:907\:848\:451\:761\:707\:775$;
$\log_2(a_k) \approx 117.603$;
$a_k = \underline{5^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43} \cdot 89 \cdot 97 \cdot 107 \cdot 211 \cdot 251 \cdot 641 \cdot 1031 \cdot 55127$;
$b_k = \underline{2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 47 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67} \cdot 73 \cdot 101 \cdot 113 \cdot 127 \cdot 331 \cdot 467 \cdot 811 \cdot 1069 \cdot 21377$.

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Podemos definir teórica (inalcanzable) límite inferior de determinado $k$ $$m_k = \sqrt{p_{2k}\#},$$ donde $p_n\#$ es primorial ($p_n\# = p_1\cdot p_2\cdots p_n$).

De esta manera se puede estimar la eficiencia de la recepción de nuevos valores:
denotar 'defecto' $$\Delta = \log_2(a_k)-\log_2(m_k)$$ (si el 'defecto' es menor, entonces la estimación es mejor);
uno puede darse cuenta de que $\Delta$ de crecimiento más o menos lineal en el rango de $2 \ldots 14$, por lo que los valores de $k=12,13,14$ parecen estar cerca de los más pequeños ejemplos:

\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline k & \log_2(m_k) & \log_2(a_k) & \Delta \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ 7 & 26.7693 & 29.8460 & 3.077\\ 8 & 32.4105 & 35.9390 & 3.528 \\ 9 & 38.3172 & 42.3748 & 4.058 \\ 10 & 44.4251 & 48.7998 & 4.375 \\ 11 & 50.6719 & 56.1322 & 5.460 \\ \hline 12 & 57.0973 & 63.4539 & 6.357 \\ 13 & 63.7263 & 71.6274 & 7.901 \\ 14 & 70.4404 & 78.8938 & 8.453 \\ 15 & 77.2345 & 87.5081 & 10.274 \\ 16 & 84.2455 & 97.5738 & 13.328 \\ 17 & 91.3541 & 106.391 & 15.037 \\ 18 & 98.5829 & 117.603 & 19.020 \\ ... & ... & ... & ... \\ \hline \end{array}

Y la trama de la actual valor de $\Delta$: