¿Es posible construir la raíz cuarta de 2?

Question

Es $2^{1/4}$ (raíz cuarta de dos) construible utilizando sólo una regla y un compás? ¿Cómo lo construirías?

Entiendo que un número es construible si se puede hacer en un número finito de paso en un campo.

Creo que es construible porque el grado de $Q(2^{\frac{1}{4}}$ sobre los racionales es $[Q(2^{1/4})): Q] = 4$ que tiene la forma $2^k$ . El grado es 4 porque una base para $2^{1/4}$ es $${1, 2^{1/4},2^{1/2}, 8^{1/4}}.$$ ¿Es correcto este razonamiento?

Si es construible, ¿tengo que encontrar las cuatro raíces de la unidad y multiplicar cada una por $2^{1/4}$ ? ¿Y cómo debo proceder a partir de ahí?

Answer 1

Una pista: Si $a$ es construible, entonces también lo es $\sqrt a$ .

[imagen de Wikipedia ]

Answer 2

La construcción es posible y bastante sencilla.

Primero construye un triángulo isósceles rectángulo con lado de $1$

La hipotenusa es $\sqrt 2$

Ampliar $\sqrt 2$ por $1$ y construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea $ 1+ \sqrt 2$ y la altura del ángulo recto divide la hipotenusa en segmentos de longitud $1$ y $\sqrt 2$

La altitud del ángulo recto en este triángulo tiene una longitud de $2^{1/4}$ como se desee.

Answer 3

Dibuja una línea $AB$ de longitud $2$ y luego ampliarlo a $C$ así que $AC=3$ . Dibuja un círculo con el diámetro $AC$ y trazar una línea perpendicular a $AC$ a través de $B$ . Que intersecte el círculo, a ambos lados de $AC$ , en $D$ y $E$ .

Entonces, $BD=BE=\sqrt2$ .

Ahora toma $BD$ o $BE$ como el nuevo $AB$ y repite.

Entonces el nuevo $BD$ o nuevo $BE$ es $\sqrt[4]{2}$ .