Encontrar todos los enteros $n$ tal que $\frac{(n^2-n-1)^2}{2n-1}$ es un número entero positivo

Question

Mi tarea es encontrar todos los números enteros $n$ tal que $\frac{(n^2-n-1)^2}{2n-1}$ es un entero positivo, y si es posible una técnica general para la resolución de las preguntas de este tipo de funciones racionales. Mi primer paso en la búsqueda de soluciones se me mostró que tanto el numerador y el denominador debe ser impar (usando aritmética modular base $2$) y por lo tanto si $d(2n-1)=(n^2-n-1)^2$, $d$ debe ser impar. Considerar primero el caso de $2n-1$ equivale a $n^2-n-1$ e lo $n$ debe ser igual a $0$ o $3$ (dos soluciones). Siguiente considerando $2n-1$ equivale a $(n^2-n-1)^2$ y el único entero solución a esto es $n=1$ (tercera solución). Ahora he tropezado en cómo buscar otras soluciones, y estoy buscando sugerencias/métodos/soluciones a la búsqueda de otros posibles soluciones. Gracias.

Answer 1

La imitación de esta hermosa respuesta, se calculan las de Euclides extendido GCD para encontrar $$25=16(n^2-n-1)^2+(-8n^3+12n^2+14n-9)(2n-1)$$

Por lo tanto, si $2n-1$ divide $(n^2-n-1)^2$, entonces también se divide $25$. Ponemos a prueba cada una de las soluciones a $2n-1\in\{\pm 1, \pm 5\pm 25\}$.