Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f^2$ es diferenciable y $(f^2)'=f$
Está claro que $f$ tiene la propiedad Darboux. Es $f$ ¿Continuo?
Respuestas
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Sea $h_n\to0$ . Supongamos que $f(x+h_n)\to\infty$ . Por lo tanto $f^2(x+h_n)$ también tiende a $\infty$ . Por lo tanto $(f^2)'$ no existiría en $x$ . Por lo tanto $f(x+h_n)$ está acotada para todo $h_n\to0$ .
Supongamos que $f(x+h_n)\to a\neq f(x)$ y $\neq -f(x)$ . Entonces $f^2(x+h_n)\to a^2$ que es $\neq f^2(x)$ . Por lo tanto, $(f^2)'(x)$ no existiría.
Por lo tanto $f(x+h_n)$ debe tender a $f(x)$ o a $-f(x)$ .
Si $f(x)=0$ hemos terminado, en ese momento $f$ es continua.
Supongamos que $f(x)\neq 0$ y que hay $h_n\to0$ tal que $f(x+h_n)\to-f(x)$ . Entonces $(f^2)'$ toma todos los valores de $(-f(x),f(x))$ en cada barrio de $x$ . Pero eso significa que $f$ también toma todos esos valores allí. Por lo tanto $f(x+h_n')$ puede elegirse de forma que $f(x+h_n')$ no tiende ni a $f(x)$ ni a $-f(x)$ . Contradicción.
Por lo tanto, todos los convergentes $f(x+h_n)$ tienden a $f(x)$ y $f$ está limitada cerca de $x$ .
Esto significa que $f(x+h)\to f(x)$ cuando $h\to0$ .
Diferenciabilidad (porque alguien preguntaba):
Si $f(x_0)\neq0$ entonces $f'(x_0)$ existe.
De hecho
$$\frac{(f^2)'(x_0)}{2f(x_0)}=\lim_{h\to0}\frac{1}{f(x_0+h)+f(x_0)}\lim_{h\to0}\frac{f^2(x_0+h)-f^2(x_0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)$$
Para los puntos en los que $f(x_0)=0$ no necesariamente. Por ejemplo:
$$f(x)=\begin{cases}x/2,&\text{ for }x\geq0\\0,&\text{ for }x<0\end{cases}$$
Satisface $(f^2)'(x)=(x^2/4)'=x/2=f(x)$ para $x\geq0$ y $(f^2)'(x)=0=f(x)$ para $x\leq0$ (afirmando implícitamente la igualdad de las derivadas direccionales en $x=0$ ). Pero $f'(0)$ no existe.
user126154
Puntos
4315
Desde $f^2$ es diferenciable, es continua.
Por lo tanto $|f|=\sqrt{f^2}$ es continua.
Si $|f(x)|=0$ entonces $f$ es continua en $x$ . Supongamos que $f$ no es continua en $x$ . Así que $|f(x)|\neq 0$ .
Además, $f$ debe oscilar acercándose a $\pm|f(x)|$ cerca de $x$ . En particular, para cualquier $\epsilon>0$ el $f$ -de un intervalo suficientemente pequeño que contenga $x$ se encuentra en $$(-|f(x)|-\epsilon,-|f(x)|+\epsilon)\cup(|f(x)|-\epsilon,|f(x)|+\epsilon).$$ Para $\epsilon$ suficientemente pequeño, esto contradice la propiedad de Darboux.
Así que $f$ es continua.
