¿Es posible determinar este tipo de juego solo por el dibujo?

Question

Por ejemplo, vamos a considerar la $A$ $B$ dos puntos del plano. Queremos determinar el conjunto de puntos de $M$: $\vert \vert \vec{MA}+\vec{MB}\vert \vert=\vert\vert \vec{MA} \vert \vert$.

Sé que el clásico método utiliza el producto escalar y también baricentro pero es una de los métodos analíticos. Me pregunto cómo ver "lo que hace de este conjunto como" sólo por el dibujo ?

Si sólo nos fijamos en la expresión de la ecuación que dibuja por primera vez (con vectores) un paralelogramo de $M$ y queremos que la diagonal ($Md=MA+MB$) tiene la misma longitud que $MA$. Tal vez la $\triangle AMd$ debe ser isoscele o equilátero.

Gracias de antemano !

Answer 1

Por el paralelogramo de la ley de adición de vectores $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}= 2 \overrightarrow{MO}$ donde $O$ es el punto medio del segmento de $AB$. Entonces la condición para $M$ puede ser escrita como: $$\frac{MO}{MA}=\frac{1}{2}$$

El lugar geométrico de los puntos con relación constante entre las distancias a $2$ puntos fijos es un círculo de Apolonius. Para construir el círculo "sólo por el dibujo", que a $M_1, M_2$ ser los puntos en la línea $AB$ que dividen el segmento de $OA$ en la proporción de $1 : 2$ internamente y, respectivamente, en el exterior. Observe que $M_2 \equiv B$ desde $BO / BA = 1/2$ . El locus de $M$ es el círculo con $M_1M_2 \equiv M_1B$ como diámetro.