Qué funciones satisfacen $\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)^2\,dx = \int\limits_{-\pi}^\pi f'(x)^2\,dx$

Question

Si $f$ es una función de valores reales que es $2\pi$-$C^1$ de la clase y periódica.

Qué funciones satisfacen:

% $ $$\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx=0$y

$$\int{-\pi}^\pi f(x)^2\,dx = \int{-\pi}^\pi f'(x)^2\,dx$$

Mi pensamiento es funciones de senos y cosenos $2\pi$-periódico, son clase $C^1$ y son simétricos sobre el eje de % de $y$. ¿Estoy correcta y existen funciones que no he pensado?

Answer 1

$f$ Es valor real, podemos utilizar la identidad de Parseval. $$\sum_{n=-\infty}^\infty|an|^2=\dfrac{1}{2\pi}\int{-\pi}^\pi f(x)^2\,dx = \dfrac{1}{2\pi}\int{-\pi}^\pi f'(x)^2\,dx=\sum{n=-\infty}^\infty|na_n|^2.$ $ Por lo tanto, debe ser $a_n=0$, excepto de $n=1,-1$ ($a_0=0$).

Así, $f(x)=a cos(x)+b sin(x), a,b\in \mathbb{R}.$ también, no necesitamos $f$ a ser de clase $C^1$, a $f'$ $L^2[-\pi,\pi]$ de la clase.