¿Cómo se podría demostrar este teorema mal redactado sobre la divisibilidad con el número 3?

Question

Estaba trasteando y encontré algo interesante, al menos para mí. Aunque quizá no sepa expresarlo con delicadeza, así que espero que quede claro.

Afirmación: Cada número natural $n$ cuya secuencia de dígitos está representada por la cadena $S$ es divisible por $3$ si la longitud de $S$ es divisible por $3$ y cada secuencia consecutiva de $3$ caracteres en $S$ son números idénticos.

Probablemente esta idea pueda precisarse aún más. Pero incluso con lo que he añadido, la parte en la que puede ser más largo que $3$ dígitos siendo el mismo número, parece que sigue siendo un reto al menos para mí demostrarlo. Tal vez si primero probamos que a $3$ es divisible por $3$ ¿si cada dígito es el mismo entonces será más fácil? O tal vez Divisibilidad por el teorema de Liljevalch es mejor aún. Pero en cualquier caso podemos decir que los tres dígitos consecutivos suman $3m$ (donde $m$ es el dígito idéntico), que es divisible por $3$ .

¿Cómo se podría hacer algo así? Pero lo que probablemente sea más importante, ¿cómo puedo redactar mejor este teorema, ya que aún no estoy familiarizado con estas cosas? ¿Quizá sin necesidad de hablar de cadenas?

Answer 1

Teorema. Sea $N$ sea un número natural cuya expansión decimal sea de la forma: $$N= a_0(1+10+10^2)+a_1(10^3+10^4+10^6)+\cdots+a_{n}(10^{3n}+10^{3n+1}+10^{3n+2}),$$ para algunos $n\geq 0$ y $a_i\in\{0,1,2,\ldots,9\}$ para cada $i=0,\ldots,n$ . Entonces $N$ es divisible por $3$ .

Prueba. Reduzcamos $N\bmod 3$ . Obtenemos:

\begin{align*} N &\equiv a_0(1+10+10^2)+a_1(10^3+10^4+10^6)+\cdots+a_{n}(10^{3n}+10^{3n+1}+10^{3n+2})\\ & \equiv a_0(1+1+1)+a_1(1+1+1)+\cdots+a_n(1+1+1)\\ &\equiv a_0\cdot 0 + a_1\cdot 0 + \cdots + a_n\cdot 0 \\ & \equiv 0 \bmod 3. \end{align*} Por lo tanto, $N\equiv 0\bmod 3$ y esto equivale a $N$ siendo divisible por $3$ .