¿Todo subconjunto cerrado de un espacio cuasi-separado es cuasi-separado?
Un espacio topológico se llama cuasi-compacto si la intersección de dos abiertos cuasi-compactos es cuasi-compacta. Aquí cuasi-compacto significa que cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita.
Dejemos que $X$ sea un espacio con la siguiente propiedad: cada punto tiene una base n.h. consistente en aperturas cuasi-compactas.
Entonces (dado que cualquier subconjunto cerrado de un conjunto cuasi-compacto es cuasi-compacto), deducimos que cualquier subconjunto cerrado $Z$ de $X$ hereda esta propiedad.
Además, se ve fácilmente que cualquier subconjunto abierto cuasi-compacto $V$ de $Z$ puede escribirse de la forma $V = U \cap Z,$ donde $U$ es un subconjunto abierto cuasi compacto de $X$ . (Sin hacer nuestra suposición inicial sobre $X$ esta propiedad no tiene por qué cumplirse; por ejemplo, considere un subconjunto compacto $Z$ de $X = \mathbb R^n$ .)
Supongamos ahora que $X$ también está cuasi separada, y dejemos que $Z$ sea un subconjunto cerrado de $X$ . Si $V_1$ y $V_2$ son dos subconjuntos abiertos casi compactos de $Z$ podemos escribir $V_i = U_i \cap Z$ , donde $U_i$ es cuasi-compacto abierto en $X$ . Entonces $U_1 \cap U_2$ es cuasi-compacto por suposición, y por lo tanto $V_1 \cap V_2 = U_1 \cap U_2 \cap Z$ también es cuasi-compacto; por lo tanto $Z$ está casi separada.
(No estoy seguro de lo que es cierto si no hacemos la suposición adicional sobre $X$ (¿has mirado en la sección de topología del Proyecto Stacks?)
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