Una pregunta más relacionada con las estadísticas del juego

Question

Hay infinidad de preguntas de verdadero-falso. Mi objetivo es llegar a los 100 puntos.

Una respuesta correcta me dará 1 punto, y si tengo 2 preguntas correctas seguidas, las preguntas correctas que vengan seguidas de 2 preguntas correctas me darán un punto adicional. Así que es como una racha ganadora. (Ejemplo: correcto, incorrecto, incorrecto, correcto, correcto, derecha mal. Recibo 5 puntos)

Una respuesta incorrecta no tendrá ninguna penalización, excepto la finalización de la racha de bonificaciones.

La pregunta es, si adivino completamente todas las preguntas, así que el 50%, ¿cuántas preguntas me espere para llegar a los 100 puntos?

Gracias a todos.

Answer 1

Llamemos $a_n$ , $b_n$ y $c_n$ el número previsto de preguntas que hay que jugar antes de $n$ puntos si anteriormente obtuvo $0$ , $1$ o al menos $2$ respuestas correctas, respectivamente. Así que el valor que buscas es $a_{100}$ . Entonces tenemos las relaciones de recurrencia

\begin{align} a_n&=1+\frac12(a_n+b_{n-1})\;,\\ b_n&=1+\frac12(a_n+c_{n-1})\;,\\ c_n&=1+\frac12(a_n+c_{n-2})\;. \end{align}

Resolviendo la primera ecuación para $b_{n-1}$ produce $b_{n-1}=a_n-2$ que podemos sustituir en la segunda ecuación para obtener $a_{n+1}-2=1+\frac12(a_n+c_{n-1})$ . Resolución de $c_{n-1}$ produce $c_{n-1}=2a_{n+1}-a_n-6$ y sustituyendo en la tercera ecuación se obtiene

$$ 2a_{n+2}-a_{n+1}-6=1+\frac12(a_n+2a_n-a_{n-1}-6)\;, $$

o

$$ a_n-\frac12a_{n-1}-\frac34a_{n-2}+\frac14a_{n-3}-2=0\;. $$

Le site ansatz $a_n=\mu n$ produce $\mu=\frac85$ y la ecuación característica $\lambda^3-\frac12\lambda^2-\frac34\lambda+\frac14=0$ tiene raíces $1$ y $\lambda_\pm=(-1\pm\sqrt5)/4$ (con $|\lambda_\pm|\lt1$ ), por lo que la solución tiene la forma general

$$ a_n=\frac85n+c+c_+\left(\frac{-1+\sqrt5}4\right)^n+c_-\left(\frac{-1-\sqrt5}4\right)^n\;. $$

Así pues, tenemos $a_{100}\approx160$ y se puede obtener el valor exacto hallando $c$ y $c_\pm$ utilizando los valores iniciales $a_0=b_0=c_0=c_{-1}=0$ .