4-variedad con $w_1\neq 0$, $w_1^2=0$, $w_2\neq 0$

Question

¿Me gustaria saber si hay una 4-variedad cuyas clases de Stiefel-Whitney satisfacen $w_1\neq 0$, $w_2\neq 0$ y $w_1^2=0$?

Hay no 3-variedad cuyas clases de Stiefel-Whitney son dadas por los anteriores. $\mathbb{R}P^4$, $w_1^2\neq 0$.

Answer 1

Que $K$ denotan la botella de Klein.

$K$ Es no orientable, $w_1(K) \neq 0$, pero como $K$ es nullcobordant, $w_1(K)^2 = 0$ y $w_2(K) = 0$. También, como $K$ es una superficie, $0 = \nu_2(K) = w_1(K)^2 + w_2(K)$ $w_2(K)$ es la reducción de $2$mod % de la clase de Euler y $\chi(K) = 0$ es, $w_2(K) = 0$ y por lo tanto $w_1(K)^2 = 0$. De cualquier manera, tenemos $w_1(K\times S^2) = w_1(K) \neq 0$ y $w_1(K\times S^2)^2 = w_1(K)^2 = 0$, $w_2(K\times S^2) = 0$.

Finalmente, como $w_i(X# Y) = w_i(X) + w_i(Y)$ $i \neq 0$, vemos que cumple con que $M = (K \times S^2) # \mathbb{CP}^2$ $w_1(M) = w_1(K) \neq 0$, $w_1(M)^2 = w_1(K)^2 = 0$ y $w_2(M) = w_2(\mathbb{CP}^2) \neq 0$.

Answer 2

Sea $M$ paquete no orientable $S^3$ $S^1$. Sus números de Betti $\Bbb Z/2$ son $b_1 = 1, b_2 = 0, b_3 = 1$. Es no-orientable, así $w_1 \neq 0$, pero claramente $w_1^2 = 0$. Ahora toma $M # \Bbb{CP}^2$. $\Bbb{CP}^2$ tiene $w_1 = 0$ $w_2 \neq 0$.