Curvas elípticas, mapa de reducción, $E_n$

Question

Deje $E$ ser la curva elíptica y establecer $\phi: E(\mathbb{Q}_p) \rightarrow E(\mathbb{F}_p)$ a la reducción de morfismos. Definir $E_n := \{(x:y:z) \in \ker \phi | x/y \in p^n\mathbb{Z}_p\}$. Estoy ocupado estudiando curvas elípticas y encontré este ejercicio en línea: Mostrar que $\forall n \geq 1$ $(x:y:z) \in E_n$ sostiene que $z/y \in p^{3n}\mathbb{Z}_p$. Ahora, he estado ocupado en esto por un tiempo y ahora esto es lo que he encontrado:

Con el fin de mostrar que, empecé con la división de la proyectiva ecuación de $y^3$, lo cual está permitido por el hecho de que $(x:y:z) \in \ker \phi$: $$z/y= x^3/y^3 + axz^2/y^3 + bz^3/y^3.$$ Debido a $(x:y:z) \in E_n$, se deduce que el $x/y \in p^n \mathbb{Z}_p$ y debido a $(x:y:z) \in \ker \phi$,$z/y \in p \mathbb{Z}_p$. Cualquier idea sobre cómo continuar?

Como siempre, cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Considere la ecuación escribió: $$\frac{z}{y} = \left(\frac{x}{y}\right)^3 + a\frac{x}{y}\left(\frac{z}{y}\right)^2+b\left(\frac{z}{y}\right)^3,$$ y por simplicidad dar nombres de $X=z/y$$Z=z/y$, por lo que tiene: $$Z = X^3+aXZ^2+bZ^3.$$ Usted está tratando de encontrar el $p$-ádico de valoración de $Z$, es decir, $\nu_p(Z)$, sabiendo que el $\nu_p(X)\geq n$. Usted necesidad de utilizar dos propiedades de $\nu_p$:

• $\nu_p(s+t)\geq \min \{\nu_p(s),\nu_p(t)\}$, con igualdad si $\nu_p(s)\neq \nu_p(t)$.
• $\nu_p(st)=\nu_p(s)+\nu_p(t)$.

Vamos a utilizar estas dos propiedades para mostrar que $\nu_p(Z)\geq 3\nu_p(X)$. Asumimos $a,b\in\mathbb{Z}_p$ (que siempre puede ser lograda por medio de un adecuado cambio de variables en la ecuación de Weierstrass), por lo que el $\nu_p(a),\nu_p(b)\geq 0$. Podemos distinguir dos casos:

• Supongamos primero que $\nu_p(Z)<\nu_p(X)$. A continuación, $$\nu_p(Z)=\nu_p(X^3+aXZ^2+bZ^3)\geq \min\{\nu_p(X^3),\nu_p(aXZ^2),\nu_p(bZ^3)\}\geq \min\{3\nu_p(X),\nu_p(a)+\nu_p(X)+2\nu_p(Z),\nu_p(b)+3\nu_p(Z)\}\geq 3\nu_p(Z).$$ Por lo tanto, $\nu_p(Z)\geq 3\nu_p(Z)$$\nu_p(Z)\leq 0$. Sin embargo, $Z=z/y$ $[x,y,z]$ está en el núcleo de reducción, lo que significa que $\nu_p(z/y)>0$, una contradicción.

• Por lo tanto, debemos tener $\nu_p(Z)\geq \nu_p(X)$. A continuación, $$\nu_p(Z)=\nu_p(X^3+aXZ^2+bZ^3)\geq \min\{\nu_p(X^3),\nu_p(aXZ^2),\nu_p(bZ^3)\}\geq \min\{3\nu_p(X),\nu_p(a)+\nu_p(X)+2\nu_p(Z),\nu_p(b)+3\nu_p(Z)\}\geq 3\nu_p(X)\geq 3n,$$ como se desee.