Soluciones para la ecuación de diophantine $3^a+1=2^b$

Question

Estoy en busca de soluciones para la ecuación de diophantine

$3^a+1=2^b$

donde$a\in \Bbb N$$b\in \Bbb N$.

Hay un poder de $3$ que da una potencia de $2$ cuando se agrega $1$?

Dos soluciones son fáciles de encontrar:

1. $3^0+1=2^1 \rightarrow 1+1=2$
2. $3^1+1=2^2 \rightarrow 3+1=4$

Pero estoy buscando otras soluciones (soluciones donde $a>1$).

Creo que no hay otra solución, pero ¿cómo puede la prueba de esta conjetura?

Más general:
¿Cómo puede usted encontrar soluciones para

$p_1^a+n=p_2^b$

donde $p_1$ $p_2$ son el primer y el $a,b,n\in \Bbb N$?

Answer 1

$$3^a=2^b-1$$ Deje $b=2k, k \in \mathbb N, k \ge 1$ $$3^a=(2^k-1)(2^k+1)$$ Entonces

$$2^k-1=3^l$$ $$2^k+1=3^m$$ donde $m+l=a, m>l$ A continuación, $$3^m+3^l=2^{k+1}$$ $$3^l(3^{m-l}+1)=2^{k+1}$$ A continuación, $l=0, k=1, m=1$

2) Deje $b=2k+1$. A continuación, $2^b≡2 (\mod 3)⟹a=0 $

Answer 2

Otra solución: considere los poderes de $3$$\pmod 8$. Tenemos $3^1\equiv 3\pmod 8$$3^2\equiv 1\pmod 8$. Así que por inducción se sigue que $3^{2k+1}\equiv 3\pmod 8$$3^{2k}\equiv 1\pmod 8$$ k\in\Bbb {N} $. Por lo $3^a+1$ sería congruente con $4$ o $2$$\pmod 8$. Por lo tanto podemos deducir que si $3^a+1=2^b $,$ b\le 2$.

Si $ b=2$,$ a=1$.

Si $ b=1$,$ a=0$. Por tanto, todas las soluciones son los pares de $(a, b)=(0,1), (1,2) $.