Superficie de Riemann para la función de la raíz cuadrada

Question

Aquí, si tomamos un punto $w$ con $w\ne 0$ desde donde la parte azul de la hoja se intersecta con la roja, es decir, desde la 'línea' de intersección, ¿es $f(w)$ único? Creo que $f(w)$ toma dos valores diferentes, $\sqrt w$ y $-\sqrt w$, pero entonces ¿cómo es $f$ una función si $f(w)$ puede tener múltiples valores?

Answer 1

Creo que el problema radica en construir cuidadosamente la superficie de Riemann para una función multivaluada. Lo que intento explicar brevemente ahora, es de "Visual Complex Functions" de Elias Wegert, donde se explica de manera mucho más precisa. No soy un experto, así que es solo un intento de darte alguna idea intuitiva.

En primer lugar, necesitas pensar en la función multivaluada como un conjunto grande de elementos de función, que son pares $(f,D)$ de funciones analíticas (de una sola valor) $f$ y discos $D$ en $\mathbb{C}$. Puedes usar la continuación analítica para obtener "cadenas" de esos elementos de función construyendo tu función. Pero dado que la función es multivaluada, obtendrás elementos de función "contradictorios" en algún momento, por lo que elevas la función a un número de copias de $\mathbb{C}$. Necesitas tantas copias como clases de equivalencia de elementos de función "no contradictorios", y puedes unirlos para obtener una estructura agradable.

Volviendo a tu pregunta, realmente no puedes hablar de los valores de la función en la línea de intersección, porque la función en la superficie de Riemann se construye a partir de elementos de función. Recuerda que estos son discos, así que o bien tienes un disco en la parte roja o un disco en la parte azul. Dependiendo de eso, conoces los valores de la función (rojo o azul) en la línea.

Answer 2

En realidad, la imagen es una proyección de un objeto de 4 dimensiones en $\mathbb{R}^3$ y por lo tanto parece que la parte azul se intersecta con la parte roja, lo cual no es el caso. En $\mathbb{R}^4$ no hay ninguna intersección, excepto el punto cero.