Logaritmo de Movimiento Browniano local de martingala, pero no martingala.

Question

Acabo de empezar el estudio de análisis estocástico y yo estoy atrapado en el intento de mostrar que, para $B$ dos dimensiones el movimiento Browniano, $\ X_t=\log\left(\left|B_t\right|\right)_t$ es una martingala local, pero no es una martingala.

Vi a la gente tratando de abordar esas cuestiones utilizando Ito integrales, pero siendo una de las primeras cosas en mi curso, me imagino que hay es una elemental forma de pensar acerca de esto, y sería muy curioso acerca de ella? En particular, lo que la secuencia de los tiempos de parada debo usar? Intuitivamente me imagino que tiene que ver con el hecho de que el proceso detenido es uniformemente integrable, por lo que podemos aplicar Doob de parada de teorema.

Yo estaría muy agradecido si alguien podría por favor explicar estos detalles para mí? Muchas gracias por su tiempo y ayuda!!

Answer 1

Debido al problema señalado por @saz, vamos a suponer que $B_0=x\not=0$. Sólo por comodidad, voy a suponer que $|x|=1$. De ello se desprende fácilmente de Ito fórmula que $X_t$ es una martingala local con $X_0=0$. Si $X$ fueron una martingala, entonces tendría $\Bbb E[X_t]=0$ todos los $t>0$. Pero a menos que me equivoco, un cálculo usando coordenadas polares muestra que $$ \Bbb E[X_t]={\sqrt{2\pi}\over t}\int_0^1\log(1/ r)e^{-r^2/2t}r\,dr, $$ que es estrictamente positivo.