Derivación de poisson del núcleo del disco de radio $R$ desde la unidad de disco

Question

Es allí una manera de obtener núcleo de poisson para el disco de radio $R$ desde la unidad de disco?

Answer 1

Introducir una escala de sustitución de $\frac{r}{R}$ en lugar de $r$ para los no-cero $R$ en el núcleo de Poisson fórmula para la unidad de disco \begin{equation*} P_r=\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta)+r^2}. \end{ecuación*} Esto nos da \begin{equation*} \frac{R^2-r^2}{R^2-2rR\cos(\theta) +r^2}. \end{ecuación*} También tenga en cuenta que a través de la modularidad de la función exponencial y la identidad de Euler, el denominador se convierte en $|Re^{it}-re^{i\theta}|^2$ por factorización que nos da una inmediata superior y límite inferior.