Encontrar $\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x^2/2}dx$

Question

$$\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x^2/2}dx$$ He hecho un intento en este sustituyendo u=x^2 para obtener: $$\frac12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u/2}du$$ Esto me da: $$\frac12[-2e^{u/2}]_{-\infty}^{{\infty}}$$ En primer lugar es este derecho y, en segundo lugar, ¿cómo puedo conectar en los límites? Me doy cuenta de que la respuesta debe ser igual a cero debido a la simetría pero ¿cómo hacerlo correctamente?

Answer 1

Sugerencia El integrando es impar. $ $

Como para lo malo: Cuando la sustitución, el cambio de límites es hacia atrás.

He aquí una manera de tratar este rigurosamente sin el uso de la simetría del integrando. En primer lugar, desde la integral es impropia en ambos extremos, que descomponen $$\phantom{(\ast)} \qquad \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^2 / 2} dx = \int_{-\infty}^0 x e^{-x^2 / 2} dx + \int_0^{\infty} x e^{-x^2 / 2} dx. \qquad (\ast)$$

Mediante la sustitución de $u = \frac{1}{2} x^2$, $du = x \,dx$, nos encontramos con que la segunda integral en la r.h.s. es $$\lim_{k \to \infty} \int_0^k x e^{-x^2 / 2} dx = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2} \int_0^{k^2 / 2} e^{-u} du = \lim_{k \to \infty} \left.-\frac{1}{2}e^u\right\vert_0^{k^2 / 2} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2} e^{-k^2 / 2}\right) = \frac{1}{2}.$$ Un argumento similar (en lugar de la sustitución de $v = -\frac{1}{2} x^2$, $dv = -x \,dx$) muestra que la primera integral en la r.h.s. tiene valor $-\frac{1}{2}$. (Se puede justificar una apelación a la simetría en este paso por el camino: al igual que siempre se puede cuando el integrando es impar y la integral de la integración es simétrico con respecto al $0$, podemos evaluar la primera integral por sustitución de $y = -x$, $dy = -dx$ y el utilizar el resultado anterior para la segunda integral.) Sustituyendo en la $(\ast)$ da la

$$\color{#bf0000}{\boxed{\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^2 / 2} dx = 0}}.$$

Answer 2

Para hacerlo correctamente, usted necesita para hacer que su sustitución es invertible, por lo que dividir el rango en cero. Usted no debe tomar la raíz cuadrada de $\infty$ como el límite, que usted debería ser capaz de ver si hacen el límite superior $y$ y tomar el límite cuando $y \to \infty$. Para la mitad superior si se toma $u=\frac 12x^2, du=xdx$ $$\int_0^{\infty}xe^{-x^2/2}dx=\int_0^{\infty}e^{-u}du=1$$ and you can use a similar technique to show the lower half is $-1$, sumando a cero, como sabemos que se debe por la simetría.

Answer 3

Demostrar que $\int_0^\infty xe^{-x^2/2}dx$ converge (en este intervalo el cambio de $u=x^2$ es de la derecha). A continuación, utilice Travis sugerencia.

Answer 4

para la función odd, la zona o el valor de la integral es cero, como se muestra en la parcela