Problema: Demostrar que, en un espacio vectorial topológico, para una vecindad dada de cero $W$ existen dos vecindades de cero, $V_1$ , $V_2$ cuya suma está contenida en la primera vecindad, $V_1+V_2\subset W$ .
Antecedentes: Estoy revisando algunos fundamentos del análisis funcional y estaba mirando el libro de Rudin. Casi al principio expone su teorema 1.10. Su objetivo es mostrar que si empezamos con dos conjuntos disjuntos en un espacio vectorial topológico $X$ : un conjunto compacto K y un conjunto cerrado C, entonces hay conjuntos abiertos disjuntos que los contienen. Sin embargo, me he atascado en un pequeño detalle de la demostración.
En primer lugar, demuestra que si $W$ es una vecindad de $0$ (el vector cero), entonces hay una vecindad $U$ de $0$ (el vector cero) que es simétrico (en el sentido de que $U = - U$ ) y que satisface $U + U \subset W$ . Dice: observamos que $0+ 0 = 0$ que la adición es continua, y que $0$ por lo tanto, tiene barrios $V_1$ , $V_2$ tal que $V_1 + V_2 \subset W$ . etc...
Esta última afirmación no la entiendo. Está claro que $W$ ya que un conjunto abierto contiene otros conjuntos abiertos (por ejemplo, él mismo). Puedo construir, utilizando la continuidad de la multiplicación por escalares, muchos otros conjuntos propiamente contenidos en $W$ contratar y, si es necesario, tomar las intersecciones con $W$ . Pero no me queda claro cómo construir (o demostrar que existen) conjuntos con adición todavía en $W$ .
Si el espacio vectorial es finito o normado o convexo no es difícil de hacer. En el caso normado simplemente tomo las bolas centradas en el origen que tienen la mitad del tamaño de la norma mínima de los elementos de $W$ pero lo dice en el caso de un espacio vectorial topológico general. No he encontrado la generalización de mi procedimiento al entorno general.
También intenté buscar todos los pares posibles de $0-$ barrios contenidos en $W$ . Si cada par de conjuntos abiertos suma un conjunto con intersección no vacía con $W$ entonces cada par de conjuntos da un par de puntos $x$ , $y$ con la suma $x+y$ no en $W$ . Me gustaría mostrar que esto elimina todos los puntos menos el origen (pero no estoy seguro de poder hacerlo). Entonces, o llegamos a una contradicción, o nos vemos obligados a considerar $0+0=0$ como contraejemplo que funciona en el caso de la topología discreta en $X$ .
Como la declaración es tan breve, me temo que me estoy perdiendo algo. Gracias por su ayuda.
